|
Реферат: Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физикет. е. дифференциал функции есть произведение ее производной на дифференциал аргумента. 3°. Формула (III) обладает замечательным свойством, именно: формула dy = f '(x)dx справедлива и в том случае, если x не является независимой переменной величиной, а является функцией другого аргумента, например и. Действительно, если х есть функция от и, то f(x) есть сложная функция от u приращение dx обусловлено приращением ∆u, и dy надо вычислять по формуле; dy = f 'u (x)* ∆u. Но f 'u (x)= f’x (x)* x’u Значит, dy = f’(x)—x'u * ∆u. Но так как, по определению, x'u ∆u = dx, то, следовательно, dy = f '(x)dx. 4°. Пример. Найти дифференциал функции: _____________________ у = √ (e2x—1). Решение. По формуле (III) dy = у'*dx. Находим у': ________ ________ y’ = e2x*2/( 2√ (e2x—1)) = e2x/ √ (e2x—1). Значит _______ dy = e2x*dx/ √ (e2x—1) 5°. Из формулы (III) следует; f’(x)=dy/dx, т. е. производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента. Это иллюстрирует черт., где dy/dx = PT/MP = tgφ=f '(x) для произвольного значения dx = MP. Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям 1°. Разность ∆y—dy—бесконечно малая высшего порядка малости, чем ∆x, поэтому при достаточно малом ∆x
(IV) Это означает, что при малых изменениях аргумента (от начального значения х) величину изменения функции y=f(x) можно приближенно считать пропорциональной величине изменения аргумента с коэффициентом пропорциональности, равным значению производной f '(x); кривую y=f (x) при этом можно приближенно заменить касательной к ней в точке х. Так как ∆у = f(х + ∆x)—f (x), то, заменяя в формуле (IV) ∆у его выражением, имеем: f(x+∆x) - f(x) ≈ f '(x)* ∆x
(V) В математике производную применяют для: 1. Исследования функции на монотонность, экстремумы. 2. Нахождения касательной к графику. 3. Нахождения наибольших, наименьших значений функций. 4. Нахождения дифференциала для приближенных вычислений. 5. Для доказательства неравенств. Рассмотрю некоторые примеры применения производной в алгебре, геометрии и физике.Задача 1. Найти сумму 1+2*1/3+3(1/3)2+…+100(1/3)99; Решение. Найду сумму g(x)=1+2x+3x2+…+100x99 и подставлю в нее x=1/3. Для этого потребуется вспомогательная функция f(x)=x+x2+…+x100. Ясно, что f ’(x)=g(x). f(x) — сумма геометрической прогрессии. Легко подсчитать, что f(x)=(x—x101)/(1—x). Значит, g(x) = f ’(x) = ((1—101x100)(1—x)—(x—x100)(-1))/(1—x)2=(1—102x100+101x101)(1—x)2. Подставлю x = 1/3. Ответ: 0,25(9—205*3-99) Задача 2. Найти сумму 1+2*3+3*32+…+100*399; Решение. Найду сумму g(x)=1+2x+3x2+…+100x99 и подставлю в нее x=1/3. Для этого потребуется вспомогательная функция f(x)=x+x2+…+x100. Ясно, что f ’(x)=g(x). f(x) — сумма геометрической прогрессии. Легко подсчитать, что f(x)=(x—x101)/(1—x). Значит, g(x) = f ’(x) = ((1—101x100)(1—x)—(x—x100)(-1))/(1—x)2=(1—102x100+101x101)(1—x)2. Подставлю x = 3. Ответ: ≈ 2,078176333426855507665737416578*1050. Задача 3. Найдите площадь треугольника AMB, если A и B — точки пересечения с осью OX касательных, проведенных к графику y = (9—x2)/6 из точки M(4;3). Решение. т. A = укас1∩OX Решение: т. B = укас2∩OX укас =y(x0)+у’(x0)(x—x0); y = (9—x2)/6 y’(x0) = -2x*1/6 = -x/3; M(4;3)________ т.к. укас проходит через M(4;3), то SAMB —? 3 = (9—x02) — (4—x0)* x0/3 | *3
18 = 9—x02—2x0(4—x0); x02—8 x0—9 = 0; Д/4 = 16 + 9; x0 = 4+5 = 9; x0 = 4—5 = -1 укас1 = -12 — (x—9)*9/3 = -3x+15; укас1 = 4/3 + (x+1)*1/3 = x/3+5/3; A(5;0); B(-5;0); AM = √10 (ед.); AB = 10 (ед.); BM = 3√10 (ед.); p — полупериметр; __ p = (4√10 + 10)/2 = 2√10 + 5; __ __ __ __ __ __ S = √(2√10 + 5) (2√10 + 5—√10) (2√10 + 5—3√10) (2√10 + 5—10) = = √(2√10 + 5)(√10 + 5)(5—3√10)(2√10—5) = = √(40—25)(25—10) = 15 (ед2); Ответ: 15 (ед2). Задача 4. Какая наименьшая плоскость может быть у треугольника OAB, если его стороны OA и OB лежат на графике функции y = (|x|—x)/2, а прямая AB проходит через точку M(0;1). Решение: -x, x<0 y = 0, x>0 A(a;-a); B(b;0);_ AO = |a|√2 = -a√2 (т.к. a<0); BO = b; Для т. B: у1 = kx +z; т.к. у1—график линейной пропорциональности, проходящий через т M(0;1), то z = 1. 0=kx+1; k=-1/b; Для т. A: у1=kx+1; -a=kx+1; k=(-1-1a)/a; у1A= у1B (-a—a)/a = -1/b; b+ab=a; a(1—b)=b; a = b/(1-b); S∆AOB=0,5*AO*OB*sin/_AOB ÐAOB =180o—45o = 135o S∆AOB=0,5*(√2/2)* (-a)b√2 = -ab/2; S∆AOB = -b2/(2(1—b)) = b2/(2(1—b)); D(y): b>1(т.к. при b<1 не образует ∆AOB.); т.к. функция непрерывна и дифференцируема на b>1, то найду ее производную: S’ = (4b(b—1)—b2)/(4(b—1)2) = (4b2—4b—2b2)/(4(b—1)2) = 2b(b—2)/(4(b—1)2) = = b(b—2)/(2(b—1)2); S’ = 0; точки экстремума: b=0; b=1; b=2; но b>1, значит Sнаим =S(2) = 4/(2(2—1))=2(ед2); Ответ: 2 ед2. Задача 5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 с ребрами CD = 24, AD= 6 и DD1 =4 проведена плоскость через центр симметрии грани A1B1C1D1 , вершину А и точку Р, лежащую на ребре DC. Какую наименьшую площадь может иметь сечение параллелепипеда этой плоскостью? На какие части делит точка P ребро DC в этом случае? Решение. Проведем плоскость и построим сечение (рис.). АО Î АA1C1С - линия, принадлежащая данной плоскости. Продолжим АО до пересечения с CC1 в точке S. Тогда SP - линия пересечения грани DD1C1C и данной плоскости, а сечение ANMP - параллелограмм. Sсеч = SAMNP = SK*AP/2 , потому что SK/2— высота параллелограмма ANMP. Это видно из следующего рассуждения. В ΔASC ОC1 - средняя линия (значит SC1 = 4), в ΔPSC также средняя линия МC1, а плоскость A1B1C1D1 делит пополам любую линию между S и плоскостью ABCD, а значит и SK. Пусть PC = x; ΔCLP подобен ΔDAP, LC/AD = x/(24—x), LC = 6x/(24—x);_____________ ____________ Из ΔCLP: KC = (6x*x/(24—x))/(√(36x2/(24—x)2)+x2) = 6x/(√(36+ (24—x)2); ________ ___________________ __________________ Из ΔSCK: SK = √SC2+ KC2 = √64+36x2/(36+(24—x)2) = 2√16+9x2/(36+(24—x)2) ; Из ΔADP: AP = √36+(24—x)2;_____ _________________ __________________ Sсеч = AP*SK/2 = 0,5*(√36+(24—x)2) 2√16+9x2/(36+(24—x)2) = √16(36+(24—x)2)+9x2; Если S’(x) = 0, то 18x+16*2(24—x)(-1) = 0; 50x—32*24 = 0, x = 32*24/50 = 32*12/25 = 384/25 (это точка min); Sсеч = 312; DP = 24—16*24/25 = 216/25; Ответ: 312 кв. ед.; DC: 384/25; 216/25.
Решение. HF=FC=1/2; S∆BME = BM*EK*1/2;___ _ Из ∆TCH => TH = √4—1=√3; EF = TH/2=√3/2; Пусть MC = x. Из ∆BMC по теореме косинусов MB2= x2+4—2*2*x*1/2; MB = √x2—2x+4; _ _ S∆BMC = 0,5*MC*BC*sinC=(x/2)*2√3 /2 = x√3/2; S∆BMC = 0,5*BM*PC, _ ________ PC = (2S∆BMC)/BM, PC = x√3/√x2—2x+4 ; ∆KMF подобен ∆PMC(по двум углам): KF/PC = MF/MC(рис 2),_____ _ _________ KF = x√3(x—1/2)/(x√x2—2x+4) = √3(x—1/2)/(√x2—2x+4); ________ ______________________ Из ∆KEF => KE = √ KF2+EF2 = √3(x—1/2)2/(x2—2x+4)+3/4; _ S∆BME = 0,5√x2—2x+4 *√3(x—1/2)2/(x2—2x+4)+3/4 = 0,5√3(x—1/2)2+(x2—2x+4)*3/4; Если S’(x) = 0, то 6(x—1/2)+(2x—2)*3/4 = 0; 15x—9 = 0; x = 3/5; __ S(3/5) = √15/5 кв.ед. Ответ: √15/5 кв.ед. Задача 7. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная пирамида, у которой боковое ребро образует с высотой пирамиды угол 60o. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник MBK, если точка M лежит на апофеме пирамиды, а BK — высота основания пирамиды, не пересекающая апофему? Решение. TP = 2R, ÐATO = 60o. Пусть AB = BC = CA = a(рис.) Тогда AO = a√3/3, AD = BK = a√3/2, _ _ TO = AO*ctg60o= a√3/3*1/√3 = a/3, OD = a√3 /6, AO2 = TO*OP = TO(2R - TO), a2/3 = a(2R – a/3)/3, a = 3R/2. S∆MBK = BK*LM*1/2, BK = const, S∆MBK = f(LM),__ LM = √MN2+NL2 Пусть MD = x, тогда MN = x cos / NMD; _ cos Ð NMD = TO/TD = a/(3√a2/9+a2/12 = 2/√7, MN = 2x/√7 . Из ∆ONL: LN = ON cos30o (ÐONL = 30o); ON = OD – ND, _ _ _ _ _ ND = x sin ÐNMD = x √3/√7, ON = a√3/6 - x√3/√7, LN = (a√3/6 - x√3/7)√3/2 = (a/4 – 3x/(2√7)), LM = √4x2/7+(a/4 – 3x/(2√7))2. _ _ Если LM’(x) = 0, то 8x/7+2(a/4 – 3x/(2√7))(-3/2√7) = 0, 8x/7 – 3a/4√7 + 9x/14 = 0, 25x/14 = 3a/4√7, x = 21a/50√7. __ __ MN = (21a/50√7)*(2/√7) = 3a/25, LN = a/4 – (3/2√7)*(21a/50√7) = 4a/25, LM = √a2/625 + 9a2/625 = a√10/25. _ S∆MBK = a√3/2*a/5*1/2 = a√3/20 = 9√3 R2/80. Ответ: 9√3 R2/80. Задача 8. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная пирамида, высота которой в 1,5 раза меньше высоты основания. Между боковой гранью пирамиды и сферой расположена правильная четырехугольная призма, одно из оснований которой (ближнее к центру сферы) лежит в плоскости боковой грани пирамиды, а вершины другого основания принадлежат сфере. Какой должна быть высота призмы, чтобы ее объем был наибольшим? Найти этот объем. Решение. SABC – правильная треугольная пирамида (рис), вписанная в сферу радиусом R, SO*1,5 = AD, LMN – правильная четырехугольная призма. Найти. Vпр = f(LM). Пусть SO = H, тогда AD = 1,5H; SO1 = R – радиус сферы; LM = x –высота призмы. ∆SKO1 подобен ∆SOD => O1K/OD = SO1/SD => OK1 = OD*SO1/SD. Из ∆AO1O: R2 = AO2 + O1O2 = (2AD/3)2 + (AD*2/3 - R)2, R2 = 4AD2/9 + 4AD2/9 –AD*R*4/3, 8AD2/9 = AD*R*4/3 => AD = 3R/2. Отсюда OD = R/2; AO1 = R и SO1 = R; _ SD = √R2 + R2/4 = R√5/2, _ OK1 = 2*R*R/(2R√5) = R√5/5; O1K = R√5/5. Из ∆O1FN => R2 = (O1K + x)2 + NF2,
NF = √R2 – R2/5 – 2x(√5)2/5 – x2 , Sосн = 2NF2. _ Vпр = Sосн*x = 2(R2 – R2/5 – 2x√5 R/5 - x2)*x; Vпр = 2(4R2x/5 – 2x2√5 R/5 - x3); V’пр(x) = 2(4R2/5 – 2x√5 R/5 - 3x2) = 0; _ x 1,2 = (2R√5/5 + √4R2/5 + 12R2/5)/(-3) = (2R√5/5 + 4R/√5)/(-3); x = 2√5 R/15 _ _ Vпр.max = 2(4R2*2√5R/(5*15) – 2√5R*4R2/(45*5) - _ 40√5R3/(225*15)) = 16R3√5(1 – 1/3 – 5/45)/75 = 16√5R3/135. Ответ: 16√5R3/135 м3 при H = 2√5R/15.
Задача 9. В конус вписан цилиндр, одно из оснований которого лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой поверхности конуса. Правильная четырехугольная призма расположена так, что ее нижнее основание лежит в плоскости верхнего основания цилиндра, вершины верхнего основания принадлежат боковой поверхности конуса. Отношение длины диагонали основания призмы к ее высоте равно отношению длины диаметра цилиндра к его высоте. При какой высоте цилиндра объем призмы будет наибольшим? Найти этот объем призмы, если высота конуса – H и радиус основания – R. Дано. ASO – конус; SO = H; AO = R; CL/CM = BK/BN; Найти. BN, чтобы Vпр = max Решение. BN = x, CM = h, Vпр = Sосн CM = CL2h/2. ∆CSD подобен ∆ASO: CD/AO = SD/SO; CD/R = (H – x - h)/H; CD = R(H – x -h)/H. ∆BSE подобен ∆ASO: BE/AO = SE/SO; BE/R = (H - h)/H; BE = R(H - h)/H. Находим отношение CD/BE = (H – x - h)/(H - x). Исходя из условия (CL/CM = BK/BN) задачи делаем вывод, что CD/BE = h/x, т. е. (H – x - h)/(H - x) = h/x => h = (Hx – x2)/H Тогда CD = R(H – x – (Hx – x2)/H)/H = R(H2 – Hx – Hx +x2)/H2 = R(H - x)2/H2, CL = 2CD = 2R(H - x)2/H2. V = 4R2(H - x)4(H - x)x/(2H*H4) = 2R2(H - x)5x/H5; V’(x) = 2R2((H - x)5 – 5(H - x)4 x)/H5 = 0, (H – x) – 5x = 0, x = H/6. V = 2HR2(5H/6)5/(6H5) = 2R2H*55/66. Ответ: при H/6, Vmax = 2R2H*55/66. В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин. Задача 1.Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r2 – b/r, где a и b — положительные постоянные, r — расстояние между частицами. Найти: а) значение r0 соответствующее равновесному положению частицы; б) выяснить устойчиво ли это положение; в) Fmax значение силы притяжения; г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r). U = a/r2 – b/r; Решение: a и b — counts; Для определения r0 соответствующего равновесному r0 — ? положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум. Fmax — ? Используя связь между потенциальной энергией поля U и F, тогда F = -dU/dr, получим F = -dU/dr = - (-2a/r3+b/r2) = 0; при этом r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной: d2U/dr02= dF/dr0=-6a/r04 + 2b/r03 = -6a/(2a/b)4+2b/(2a/b)3=(-b4/8a3)<0; равновесие устойчивое. Для определения Fmax притяжения исследую на экстремумы функцию: F = 2a/r3— b/r2; dF/dr = -6a/r4 + 2b/ r3 = 0; при r = r1 = 3a/b; подставляя, получу Fmax = 2a/r31 — b/r31 = - b3/27a2;
F = 0; F(r)max при r = r1 = 3a/b; Задача 2. Три резистора сопротивлениями R1, R2, R3 соединены параллельно. Сопротивление R1 в 9 раз больше сопротивления R2. Если все три резистора соединить последовательно, то сопротивление цепи равно R. Определить сопротивления резисторов при которых сопротивление исходной цепи будет наибольшим. R1 = 9 R2 Решение: При параллельном соединении резисторов эквивалентное R1, R2, R3 сопротивление по формуле: 1/Rэкв = 1/R1+1/R2+1/R3; Rэкв max— ? выражу R3 через R2: R3 = R— R1—R2=R—10R2; тогда 1/Rэкв = (10R—91R2)/(9R2(R—10R2)); Задача сведена к определению наименьшего значения функции в интервале [0;R/10]. Возьмем производную от f(1/Rэкв) по R2 и преобразуем ее: (1/Rэкв)’ = -910(R2—R/7)(R2—R/13)/(9R22 (R-10R2)2); В интересующем нас интервале только одна точка R2 = R/13 в которой эта производная меняет знак с “—” слева на ”+”справа. Поэтому в точке R2 = R/13 достигается минимум функции 1/Rэкв и максимум функции Rэкв, при этом R1 = 9R/13; R2 = 1R/13; R3 = 3R/13; Rэкв max = 9R/169; Задача 4. В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее диаметр d и сопротивление R. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой H по закону B = B0(1 + αH), где α = const (черт.). Решение. Пусть n – нормаль к плоскости кольца, тогда магнитный поток, созданный вертикальной составляющей магнитного поля., Ф = BS = B0(1 + αH)S, где S = πd2/4 – площадь контура. ЭДС индукции, возникающая в кольце, E = - Ф’(t) = - (B0(1 + αH)S)’ = - B0SαH’(t). Производная H’(t) = νн – это проекция скорости кольца на ось H. Таким образом, Ei = - B0Sα( - νн). Так как скорость кольца направлена против оси H, то νн = - ν, где ν – модуль скорости кольца и Ei = B0Sαν. По кольцу протекает индукционный ток J = Ei /R = B0Sαν/R. В результате в кольце за промежуток времени Δt выделяется количество теплоты Q = J2RΔt. На высоте H1 кольцо обладает механической энергией W1 = mgH1 + mν2/2, на высоте H2 W2 = mgH2 = mgH2 + mν2/2 (ν = const, т. е. скорость кольца не меняется). По закону сохранения энергии W1 = W2 + Q => mgH1 = mgH2 + J2RΔt => mg(H1 - H2) = (B0Sαν/R)2RΔt => mg(H1 - H2) = (B0Sαν)2Δt/R (*) Разность (H1 - H2) есть расстояние, пройденное кольцом при равномерном движении, поэтому H1 - H2 = νΔt, и уравнение (*) примет вид: mgνΔt = (B0Sαν)2Δt/R => mg = (B0Sα)2ν/R => ν = mgR/(B0Sα)2 = 16mgR/(B0πd2α)2. Ответ: ν = mgR/(B0Sα)2 = 16mgR/(B0πd2α)2. Задача 6. Цепь с внешним сопротивлением R = 0,9 Ом питается от батареи из k=36 одинаковых источников, каждый из которых имеет ЭДС E=2 В и внутреннее сопротивление r0 = 0,4 Ом. Батарея включает n групп, соединенных параллельно, а в каждой из них содержится m последовательно соединенных аккумуляторов. При каких значениях m, n будет получена максимальная J во внешнем R(см. рис.). Решение: При последовательном соединении аккумуляторов Eгр = m*E; rгр = r0*m; а при параллельном соединении одинаковых rбат = r0m/n; Eбат = m*E, По закону Ома J = mE/(R+ r0m/n) = mEn/(nR + r0m) Т.к. k – общее число аккумуляторов, то k = mn; J = kE/(nR + r0m) = kE/(nR + kr0/n); Для нахождения условия при котором J тока в цепи максимальная исследую функцию J = J(n) на экстремум взяв производную по n и приравняв ее к нулю. J’n-(kE(R—kr0/n2))/ (nR + kr0/n)2 = 0; n2 = kr/R; . n = √kr/R = √3,6*0,4/0,9 = 4; m = k/n = 36/4 = 9; при этом Jmax = kE/(nR + mr0) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А; Ответ: n = 4, m = 9. Задача 7. Платформа массой М начинает двигаться вправо под действием постоянной силы F. Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна m кг/с. Пренебрегая трением, найти зависимость от времени ускорения а платформы в процессе погрузки. Определить ускорение а1 платформы в случае, если песок не насыпается на платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью m кг/с. Решение. Рассмотрим сначала случай, когда песок насыпается на платформу Движение системы платформа-песок можно описать с помощью второго закона Ньютона: dP/dt = FS P – импульс системы платформа-песок, FS – сила, действующая на систему платформа-песок. Если через p обозначить импульс платформы, то можно написать: dp/dt = F Найдем изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток времени Dt: Dp = (M+m(t+Dt))(u+Du) – (M+mt)u =FDt где u – скорость платформы Раскрыв скобки и, проведя сокращения получаем: Dp = muDt + MDu+mDut+ mDuDt =FDt Разделим на Dt и перейдем к пределу Dt ®0 Mdu/dt+mtdu/dt+mu=F или d[(M+mt)u]/dt = F Это уравнение можно проинтегрировать, считая начальную скорость платформы равной нулю: (M+mt)u = Ft Следовательно: u = Ft/(M+mt) Тогда, ускорение платформы: a = du/dt = (F(M+mt)-Ftm)/(M+mt)2 = FM / (M+mt)2 Рассмотрим случай, когда песок высыпается из наполненной платформы. Изменение импульса за малый промежуток времени: Dp = (M-m(t+Dt))(u+Du) +mDtu – (M-mt)u = FDt Слагаемое mDtu есть импульс количества песка, которое высыпалось из платформы за время Dt Тогда: Dp = MDu - mtDu - mDtDu = FDt Разделим на Dt и перейдем к пределу Dt ®0 (M-mt)du/dt = F или a1=du/dt= F/(M-mt) Ответ: a = FM / (M+mt)2 , a1= F/(M-mt) СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. М64 И. Ф. Суворов “Курс высшей математики для техникумов”. М.: Просвещение, 1964. 2. М 71 В. В. Ткачук “Математика—абитуриенту”. М.: Просвещение, 1980. 3. P60 Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов “Стереометрия в задачах”. М.: Учебный центр “Ориентир” – “Светоч”, 1998. 4. P60 В. А. Колесников. “Физика. Теория и методы решения конкурсных задач. Часть II”. М.: Учебный центр “Ориентир” – “Светоч”, 2000. 5. Л77 Л. М. Лоповок “1000 проблемных задач по математике”. М.: Просвещение, 1995. 6. М89 Д. Т. Письменный “Математика для старшеклассников. Теория\задачи”. М.: “Айрис”, “Рольф”, 1996. 7. С 82 М. Я. Выгодский “Справочник по элементарной математике”. Спб.: Союз, 1997. 8. В20 В. И. Васюков, И. С. Григорьян, А. Б. Зимин, В. П. Карасева “Три подсказки – и любая задача решена! Часть III”. М.: Учебный центр “Ориентир” при МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. 9. Э 61 В. А. Чуянов “Энциклопедический словарь юного физика”. М.: Педагогическа-Пресс, 1999. 10. Б 27 А. Б. Басков, О. Б. Баскова, Н. В. Мирошин “Математика. Часть 2. Алгебра и начала анализа”. М.: МИФИ, 1997. РЕЦЕНЗИЯ НА РАБОТУ |
НОВОСТИ |
ВХОД |
|
Рефераты бесплатно, реферат бесплатно, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения, курсовые, дипломы, научные работы и многое другое. |
||
При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна. |