|
Реферат: Некоторые Теоремы ШтурмаВ уравнение (2.43) входит лишь одна из неизвестных функций . Если решение уравнения (2.43) известно, то соответствующее решение уравнения (2.44) может быть найдено с помощью квадратуры. Преимущество уравнения (2.43) по сравнению с (2.40) состоит в том, что всякое решение уравнения (2.43) существует на всем интервале J, где непрерывны р и q. Это видно из соотношения, связывающего решения уравнений (2.1) и (2.43). Упражнение 2.1. Проверьте, что если функция непрерывна на J и имеет локально ограниченную вариацию (т. е. имеет ограниченную вариацию на всех замкнутых ограниченных подин-тервалах из J) и если - вещественное решение уравнения (2.1), то равенства (2.45) при фиксированном значении для некоторого однозначно определяют непрерывные функции , имеющие локально ограниченную вариацию и Соотношения (2.46) и (2.47) следует понимать так, что интегралы Римана - Стильтьеса от обеих их частей равны. Обратно, (непрерывные) решения системы уравнений (2.46), (2.47) определяют решения уравнения (2.1) с помощью соотношений (2.45). Заметим, что если q (t) > 0, р (t) > 0 и функция q(t) р(t) имеет локально ограниченную вариацию, то, полагая , мы получаем q/, а соотношения (2.45), (2.46) и (2.47) переходят в равенства (2.48) (2.49) . (2.50) § 3. Теоремы Штурма В этом параграфе мы будем рассматривать только уравнение вида (2.1) с вещественными непрерывными коэффициентами р (t) > 0, q (t). Под «решением» мы будем понимать «вещественное, нетривиальное (т. е. ) решение». Нас будет интересовать множество нулей решения u (t). Для изучения этих нулей часто оказывается полезным преобразование Прюфера (2.42), поскольку тогда и только тогда, когда . Лемма 3.1. Пусть - вещественное решение уравнения (2.1) при , где и вещественны и непрерывны. Пусть функция и (t) имеет в точности нулей при . Предположим, что - непрерывная функция, определенная равенством (2.42), и . Тогда и при . Доказательство. Заметим, что в той точке t, где u=0, т. е. где , производная в силу (2.43). Следовательно, функция возрастает в окрестности точек, где для некоторого целого j. Отсюда следует, что если и , то при , а также что если , то при . Тем самым лемма доказана. В теоремах этого параграфа будут рассматриваться два уравнения
где функции вещественны и непрерывны на интервале J. и . (3.2) В этом случае уравнение (3.1) называется мажорантой Штурма для (3.1) на J, а уравнение (3.1)-минорантой Штурма для (3.1). Если дополнительно известно, что соотношения (3.32) или и (3.31) выполняются в некоторой точке , то уравнение (3.32) называется строгой мажорантой Штурма для (3.31) на J. Теорема 3.1 (первая теорема сравнения Штурма). Пусть коэффициенты уравнения непрерывны на интервале J: , и пусть уравнение (3.32) является мажорантой Штурма для (3.11). Предположим, что функция является решением уравнения (3.11) и имеет точно нулей при ,а функция удовлетворяет уравнению (3.12) и (3.4) при . [Выражение в правой (соответственно левой) части неравенства (3.4) при полагается равным , если (соответственно если ); в частности, соотношение (3.4) справедливо при , если .] Тогда имеет при пo крайней мере n нулей. Более того, имеет по крайней мере n нулей при , если при в (3.4) имеет место строгое неравенство или если уравнение (3.1 г) является строгой мажорантой Штурма для (3.11) при . Доказательство. В силу (3.4) можно определить при пару непрерывных функций с помощью соотношений (3.5) Тогда справедливы аналоги соотношения (2.43): (3.6j) Поскольку непрерывные функции , гладким образом зависят от , решения системы (3.6) однозначно определяются своими начальными условиями. Из (3.2) следует, что при и всех . Поэтому последняя часть (3.5) и следствие III.4.2 означают, что для В частности, из следует, что , и первая часть теоремы вытекает из леммы 3.1. Чтобы доказать последнюю часть теоремы, предположим вначале, что при в (3.4) имеет место строгое неравенство. Тогда . Обозначим через решение уравнения (3.62), удовлетворяющее начальному условию , так что . Поскольку решение уравнения (3.62) однозначно определяется начальными условиями, при . Неравенство, аналогичное (3.7), означает, что потому . Следовательно, имеет n нулей при . Рассмотрим теперь тот случай, когда в (3.4) имеет место равенство, но в некоторой точке из выполняется либо (3.31), либо (3.32). Запишем (3.62) в виде , где Если доказываемое утверждение неверно, то из уже рассмотренного случая следует, что при .Поэтому и при . Так как только в нулях функции , то отсюда следует, что при и . Следовательно, если при некотором t, то , т. е. . Если (3.31) не выполняется ни при каком t из отрезка , то при некотором t имеет место (3.32), и потому (3.32) справедливо на некотором подинтервале из . Но тогда на этом интервале и потому . Однако это противоречит условию . Доказательство закончено. Следствие 3.1 (теорема Штурма о разделении нулей). Пусть уравнение (3.12) является мажорантой Штурма для (3.11) на интервале J, и пусть - вещественные решения уравнений, (3.3j). Пусть обращается в нуль в двух точках интервала J. Тогда имеет по крайней мере один нуль на . В частности, если и вещественные линейно независимые решения уравнения (3.11) (3.12). То нули функции разделяют нули функции и разделяются ими. Заметим, что, последнее утверждение этой теоремы имеет смысл, поскольку нули функций и не имеют на J предельных точек. Кроме того, , не могут иметь общего нуля , так как в противном случае в силу того, что решения уравнения (3.11) единственны, , где (так что и не являются линейно независимыми). Упражнение 3.1. (Другое доказательство теоремы Штурма о разделении нулей, когда p1(t)ºp2(t)>0, q2(t)³q1(t).) Предположим, что u1(t)>0 при t1<t2<t3 и утверждение неверно: например, u2(t)>0 при t1£ t£t2. Умножая (p1(t)u¢)¢+q1(t)u=0, где u=u1, на u2, а (p2(t)u¢)¢+q2(t)u=0, где u=u2, на u1, вычитая и интегрируя по [t1,t2], получаем: p(t)(u1¢u2-u1u2¢)³0, при t1£t£t2, где p=p1=p2. Это означает, что (u1/u2)¢³0; поэтому u1/u2>0 при t1<t£t2, т.е. получается, что u1(t2)>0 чего быть не может. Решение: (p1(t)u¢)¢+q1(t)u=0, u=u1 (p1(t)u1¢)¢+q1(t)u1=0. Умножим левую часть равенства на u2, получим: u2(p1(t)u1¢)¢+q1(t)u1u2=0. Во втором уравнении проделаем соответствующие операции: (p2(t)u¢)¢+q2(t)u=0, u2=u (p2(t)u2¢)¢+q2(t)u2=0. Умножим левую часть равенства на u1, получим: u1(p2(t)u2¢)¢+q2(t)u1u2=0. Вычитаем из первого уравнения второе, получим: u2(p1u1¢)¢+q1u1u2-u1(p2u2¢)¢-q2u1u2=0, p=p1=p2 u2(pu1¢)¢+q1u1u2-u1(pu2¢)¢-q2u1u2=0 (u2(pu1¢)¢-u1(pu2¢)¢)+u1u2(q1-q2)=0 Упростим это уравнение, u2(p¢u1¢+pu1¢¢)-u1(p¢u2¢+pu2¢¢)+u1u2(q1-q2)=0 Раскроем скобки, получим: p¢u1¢u2+ pu1¢¢u2- p¢u1u2¢-pu1u2¢¢+u1u2(q1-q2)=0. Сравнивая с формулой (2.2), получаем: (p(u1¢u2-u1u2¢))¢+u1u2(q1-q2)=0 (p(u1¢u2-u1u2¢))¢-u1u2(q2-q1)=0 (p(u1¢u2-u1u2¢))¢=u1u2(q2-q1)=0. Проинтегрируем это уравнение по [t1,t], получим: [p(u1¢u2-u2¢u1)]¢dt = u1u2(q2-q1)dt, где u1u2>0, q2-q1³0. Значит p(u1¢u2-u1u2¢)³0. Т.о. (u1/u2)¢³0 Þ u1/u2>0. Упражнение 3.2. с) Проверьте, что вещественные решения u(t) ¹0 уравнения u¢¢+m/t2u=0 (1/17) имеет не более одного нуля при t>0, если m£, и эти решения имеют бесконечно много нулей при t>0, если m>. В последнем случае множество нулей имеет две предельные точки t=0 и t=¥. Решение: в §1 было рассмотрено упражнение 1.1 с), где показали, что функция u=tl является решением уравнения u¢¢+m/t2u=0 тогда и только тогда, когда l удовлетворяет уравнению l(l-1)+ m=0. Решая его получили : l=±m. Если m>1/4, то корни l1 и l2 – комплексные, т.е. u=t1/2[cos (m-1/4 ln t)c1+c2sin(m-1/4 ln t)] имеют бесчисленное множество нулей. В частности, если положить: c1=sinu ,c2=cosu, то получим: u= t1/2[sin u cos (m-1/4 ln t)+cos u sin (m-1/4 ln t)]= t1/2 [sin (u+m-1/4 ln t)]. Если m<1/4, то решение u=с1t1/2+ +c2t1/2- имеют не более одного нуля. Так же, если m=1/4, то решение u=c1t1/2+c2t1/2ln t имеют не более одного нуля. d) Рассмотрим уравнение Бесселя: v¢¢+v¢/t+(1-m2/t2)v=0, (3.10) где m-вещественный параметр. Вариация постоянных u=t1/2/v переводит уравнение (3.10) в уравнение: u¢¢+(1-a/t2)u=0, где a=m2-1/4 (3.11) Проверим истинность этого утверждения u=t1/2v, следовательно: v=u/t1/2=ut-1/2. Найдём первую производную: v¢=(ut-1/2) ¢=u¢t-1/2+u(t-1/2)¢=u¢t-1/2-1/2ut-3/2. Теперь вторую производную: v¢¢=(u¢t1/2) ¢-1/2(ut-3/2) ¢=u¢¢t-1/2 +u¢(t-1/2) ¢-1/2(u¢t-3/2+u(t-3/2) ¢)= =u¢¢t-1/2 –1/2u¢t-3/2-1/2u¢t-3/2+3/4uut-5/2= =u¢¢t-1/2-u¢t-3/2+3/4ut-5/2. Подставляя в уравнение (3.10), получим: v¢¢+v¢/t+(1-m2/t2)v=0. u¢¢t-1/2-u¢t-3/2+3/4ut-5/2+1/t(u¢t-1/2-1/2ut-3/2)+(1-m2/t2)ut-1/2=0 t-1/2(u¢¢-u¢t-1+3/4ut-2+u¢t-1-1/2ut-2+u(1-m2/t2))=0 u¢¢+1/4ut-2+u(1-m2/t2)=0 u¢¢+u-m2u/t2+1/4ut-2=0 u¢¢+u-(m2u-1/4u)/t2=0 u¢¢+u-((m2-1/4)u)/t2=0 u¢¢+u-au/t2=0 u¢¢+(1-a/t2)u=0, где a=m2-1/4. Покажем, что нули вещественного решения v(t) уравнения (3.10) образуют при t>0 такую последовательность t1<t2<…, что tn-tn-1®p при n®¥. Так как в уравнении u¢¢+(1-a/t2)u=0, т.е. уравнение u¢¢+(1-(m2-1/4)/t2)u=0 m - постоянное число, то при m³1/4 и при t – достаточно большое, то выражение 1-(m2-1/4)/t2®1, т.е. если уравнение u¢¢+(1-(m2-1/4)/t2)u=0 сравнить с уравнением u¢¢+u=0, то расстояние между последовательными нулями стремится к p, т.е. tn-tn-1®p при n®¥. Теорема 3.2 (вторая теорема сравнения Штурма). Пусть выполнены условия первой части теоремы 3.1 и функция имеет точно n нулей при . Тогда соотношение (3.4) выполняется при [где выражение в правой (соответственно левой) части (3.4) при полагается равным , если (соответственно,)]. Кроме того, при в (3.4) имеет место строгое неравенство, если выполнены условия последней части теоремы 3.1. Доказательство этого утверждения содержится по существу в доказательстве теоремы 3.1, если заметить, что из предположения о числе нулей функции вытекает последнее неравенство в следующей цепочке: . Аналогично, в предположениях последней части теоремы доказательство теоремы 3.1 дает неравенство . Использованная литература: 1. Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебн. пособие./ Пер. с англ. И.Х.Сабитова, Ю.В.Егорова; под ред. В.М.Алексеева.-М.: изд.”Мир”, 1970г.-720 с. 2. В.В.Степанов. Курс дифференциальных уравнений. Гос.изд. “Технико-теор. литер.”-М., 1953г.-468 с. 3. Большая Советская Энциклопедия. /Под ред. А.М.Прохорова. Изд. 3-е., М., “Советская Энциклопедия”, 1978г., т.29. “Чачан-Эне-ле-Бен.” – 640 с. 4. Г.Вилейтнер. “История математики от Декарта до середины 19-го столетия.” М., изд. “Наука.”, 1966г. – 508 с. 5. История математики с древнейших времён до начала 19-го столетия. /Под ред. Юшкевича А.П., т.3 /Математика 18-го столетия/., изд. “Наука.”, М., 1972г. – 496 с. |
Страницы: 1, 2
НОВОСТИ |
ВХОД |
|
Рефераты бесплатно, реферат бесплатно, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты, рефераты скачать, рефераты на тему, сочинения, курсовые, дипломы, научные работы и многое другое. |
||
При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна. |