Реферат: Количественные методы в управлении

2.2 Анализ доходности и рискованности финансовых операций.

Пусть доход от операции  Q  есть с.в., которую будем обозначать также как и саму операцию Q. Математическое ожидание M[Q]=S(q[i]*p[i]) называют еще средним ожидаемым доходом, а риск операции  r = s =ÖD[Q]=Ö(M[Q2]-M2[Q])   отождествляют со средним квадратическим отклонением.

Необходимые расчеты:

Красным цветом высвечены доминируемые точки (операции), а зеленым – недоминируемые, т.е. оптимальные по Парето. Оптимальными по Парето являются 1-я,2-я и 4-я операции.

Теперь выберем две операции (1-ю: Q1 и 4-ю: Q4), предположим, что они независимы друг от друга и выясним, нет ли операции, являющейся их линейной комбинацией и более хорошей, чем какая-либо из имеющихся.

Пусть Q1 и  Q4 две финансовые операции  со средним ожидаемым доходом 4,2 и 16,25 и рисками 5,19 и 6,12  соответственно. Пусть t  - какое-нибудь число между 0  и 1 . Тогда операция Qt=(1-t)Q1+tQ4  называется линейной комбинацией операций Q1,Q4. Средний ожидаемый доход операции  Qt  равен M[Qt] = 4,2* (1-t) + 16,25*t, а риск операции  Qt равен rt =Ö(26,94*(1-t)2+37,44*t2). Была найдена операция Q*, являющаяся линейной комбинацией исходных операций, со средним ожидаемым доходом 9,14 и риском 3,96, которая превосходит все имеющиеся операции по риску.

Определить лучшую и худшую операции можно также с помощью взвешивающей формулы f(Q)= 2*M[Q] – r. Имеем: f(Q1)=3,21; f(Q2)=7,86; f(Q3)=7,28; f(Q4)=26,38. Следовательно, 4-я операция является самой лучшей, а 1-я – самой худшей.

2.3 Статистический анализ денежных потоков.

Исходные данные для анализа: ежедневные (суммарные) денежные вклады населения в отделение сбербанка в течение 4-х недель (или аналогичный какой-нибудь денежный поток).

Исходные данные:

Денежный поток:

Ранжированный ряд:

Дискретный вариационный ряд:

Многоугольник частот:

Интервальный вариационный ряд:

Многоугольник частостей:

Выборочная функция распределения:

Статистические характеристики:

Необходимые формулы и расчеты:

2.4 Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

3.1 Сотрудничество и конкуренция двух фирм на рынке одного товара.

Рассмотрим две фирмы, i=1,2, выпускающие один и тот же товар. Пусть затраты  i-й фирмы при выпуске  x[i]  равны a[i]*x[i] (таким образом, a[i] есть себестоимость выпуска одной единицы товара i-й фирмой). Произведенный обеими фирмами товар поступает на общий рынок. Цена на товар линейно падает в зависимости от поступающего на рынок общего его количества: p(x)=c-bx, c,b>0, где x=x[1]+x[2]. Следовательно, прибыль   i-ой фирмы равна W[i](x[1],x[2])=x[i]*(c-bx)-a[i]*x[i]=bx[i]*(d[i]-(x[1]+x[2])),где d[i]=(с-a[i])/b. Поведение каждой фирмы определяется ее стремлением максимизировать свою прибыль.

Дано: a[1]=5, a[2]=6, b=9, c=77.

Тогда:       p(x)=77-9*x      d[1]=(с-a[1])/b=(77-5)/9=8   d[2]=(с-a[2])/b=(77-6)/9=7,89

W[1](x[1],x[2])= bx[1]*(d[1]-(x[1]+x[2]))= 9*x[1]*(8-(x[1]+x[2]))

W[2](x[1],x[2])= bx[2]*(d[2]-(x[1]+x[2]))= 9*x[2]*(7,89-(x[1]+x[2]))

Допустим, что первая фирма узнала стратегию второй, т.е. объем ее выпуска x[2]. Токда она выбрала бы свой выпуск из условия максимизации прибыли:

¶W[1]/ ¶x[1]= b*(d[1]-(x[1]+x[2])) – b* x[1]=0, т.е. x*[1]= (d[1]-x[2])/2=(8-x[2])/2

Аналогично для второй фирмы:   x*[2]= (d[2]-x[1])/2=(7,89-x[1])/2

x*[2], x*[1] – оптимальные выпуски 1-ой и 2-ой фирм при условии, что они знают выпуск конкурента.

Теперь предположим, что производственные циклы фирм совпадают, т.е. a[1]=a[2]=5. Пуcть фирмы выбирают свои оптимальные выпуски, зная объем производства своего конкурента за прошлый период. Предположим, что d[1]/2<d[2]<2d[1], тогда эти прямые пересекаются в точке K с координатами x[1]=(2d[1]-d[2])/3, x[2]=(2d[2]-d[1])/3. Эта точка называется точкой Курно. Как видно на риссунке последовательность стратегий фирм сходится к этой точке. Так как а[1]=a[2], то d[1]=d[2]=8, тогда точка Курно K(d/3,d/3),  x[i]=d/3, прибыли фирм W[i]=b*d2/9, цена p=c-2*b*d/3. И еще одно условие x<=c/b<=d .

d[1]/2<d[2]<2d[1]     -      8/2<8<2*8   -   верно.

Нанесем на плоскость x [1] x[1] прямые-множества стратегий фирм в ответ на известную стратегию другой фирмы x*[1]=(8-x[2])/2 и x*[2]=(8-x[1])/2 и найдем точку их пересечения. x[1],х[2]=d/3=8/3=2,67. Далее определим прибыли фирм W[1], W[2]=b*d2/9=9*64/9=64,    p=c-2*b*d/3=77-2*9*8/3=29.

Теперь посмотрим, как действует модель Курно. Пусть 7,8 и 0,1 – выпуски фирм за прошлый год и каждая фирма знает этот выпуск своего конкурента. Тогда, зная его она применяет свою оптимальную стратегию с целью максимизировать прибыль. Убедимся, что после некоторого количества итераций они окажутся в точке Курно.

Как видно уже при 3-ей операции выпуски и прибыли 1-ой и 2-ой фирмы и цена значительно приблизились к точке Курно. Посмотрим это графически.

Зеленым цветом обозначены точки последовательных итераций, а красным – точка Курно.

3.2 Кооперативная биматричная игра как модель сотрудничества и конкуренции двух участников.

Математической моделью конфликтов с двумя участниками являются биматричные игры. Такая игра 2х2 задается биматрицей  (aij,bij) . В кооперативном варианте такой игры игроки могут согласованно выбирать элемент биматрицы. Если они выбрали элемент  (a,b), то Первый игрок получает  a , а Второй получает  b . Цели игроков одинаковы - выиграть как можно больше в расчете на партию в среднем. Пусть (x,y),  (a,b) - две точки из CE. Говорят, что (x,y) доминирует (a,b) если x>=a, y>=b и хотя бы одно из этих неравенств строгое. Недоминируемые точки называются оптимальными по Парето, а их множество - множеством оптимальности по Парето. Еще более узкое множество называется переговорным. Оно определяется так: пусть Vk - максимальный выигрыш, который k-й игрок может обеспечить себе при любой стратегии другого игрока, тогда переговорное множество определяется как множество тех точек множества Парето, у которых k-я координата не меньше Vk. Для нахождения Vk на до решить две задачи ЛП:

         V1-->max, a11*x+a21*(1-x)>=V1,a11*x+a12*(1-x)>=V1, 0<=x<=1;

         V2-->max, a11*y+a12*(1-y)>=V2,a21*y+a22*(1-y)>=V2, 0<=y<=1.

Дано:           

                                            биматрица

Нанесем на плоскость элементы биматрицы и начертим выпуклую оболочку.

Где красным и зеленым цветом обозначено множество оптимальности по Парето, а зеленым – та его часть, которая является переговорным множеством. V1=8, V2=4.

Цена игры первого игрока V1 находится легко, так как в матрице аij есть седловая точка а[2,1]=8. Основная теорема матричных игр утверждает, что для любой матричной игры  max{min{M[P,Q]:Q}:P}=min{max{M[P,Q]:P}:Q}, т.е. во множестве смешанных стратегий есть седловая точка, дающая оптимальное решение игры. Поэтому V1= а[2,1]=8, а оптимальная стратегия 1-го игрока Р*=(0 1), так как ему выгодно выбирать все время    2-ю строку.

Для того, чтобы найти цену игры и оптимальную стратегию 2-го игрока необходимо решить задачу ЛП. Если все разделить на V2 и сделать замену переменных, то получим:

 V2-->max                          y/V2=x1                  x1 + x2 àmin

 2*y+6*(1-y)>=V2,     (1-y)/V2=x2           2*x1 +6*x2>=1

 7*y+1*(1-y)>=V2,                                    7*x1 +1*x2>=1

 0<=y<=1.                                                           x1, x2 ≥0

Решая ее находим V2=4.

Итак, цена игры 2-го игрока V2=4

3.3 Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества.

4.1 Модель распределения богатства в обществе.

Такой моделью является так называемая «диаграмма или кривая Лоренца».

Рассмотрим функцию распределения богатства в обществе  d(z), которая сообщает, что  z-я часть самых бедных людей общества владеет  d(z)-й частью всего общественного богатства. Далее приведен график функции  d(z). Площадь заштрихованной линзы называется коэффициентом Джинни J. Эта величина не более 1/2. Чем она меньше, тем равномернее распределено богатство в обществе. При  J>0.2 распределение богатства называется опасно несправедливым - это преддверие социальных волнений. Из функции d(z)  можно получить другую функцию  w(z) , она сообщает долю общественного богатства, которой владеет z-я часть самых богатых людей (w(z)=1-d(1-z)). Еще одну функцию можно получить из  d(z): S(x)=d(1/2+x)-S(1/2-x). Она показывает, что  часть общества, которая богаче, чем (½-х) самых бедных, но беднее (½-х) самых богатых, владеет S(x)-й частью всего общественного богатства. График функции S расположен только над отрезком [0, 1/2].  Говорят, что в обществе есть средний класс, если d(3/4)-d(1/4)>=1/2  или, что то же самое  S(1/4)>=1/2 .

Дано:        d(z)=  exp((7/2)*ln(z))

Как видно на графиках d(0,5)=0,09 ,т.е. половина самых бедных членов общества владеет только 9% всего общественного богатства. Вычислим коэффициент Джинни:

½ - J=( 0∫1 (exp(7/2*ln(z)) dz)=0,22, значит J=0,28. Так как 0,28>0,2, то распределение богатства в обществе опасно несправедливо.

s(x)= exp((7/2)*ln(1/2+х)) - exp((7/2)*ln(1/2-х))

w(z)= 1 - exp((7/2)*ln(1-z))

Так как  s(0,25)=0,36 и 0,36<0,5, то можно сделать вывод об отсутствии в данном обществе среднего класса. w(0,1)=0,31 означает, что десятая часть самых богатых владеет 31% всего общественного богатства.

Производные функций d(z) и w(z):

4.2 Распределение общества по получаемому доходу.

Пусть F(z) есть доля имеющих месячный доход меньше z  по отношению ко всем, имеющим какой-нибудь денежный доход (всех таких членов общества назовем налогоплательщиками). Функцию F(z)  вполне правильно трактовать как функцию распределения случайной величины  I  - месячный доход случайного налогоплательщика. С.в.  I  можно считать непрерывной. Функция  F(z)  может быть интересна налоговой инспекции. С помощью функции F(z) можно найти несколько интересных характеристик общества. Например, средний доход, который находится как интеграл от 0 до бесконечности функции   z*dF(z). Другой подобной характеристикой является коэффициент Рейнбоу, который находится как отношение решений уравнений F(z)=0.9 и  F(z)=0.1, т.е. этот коэффициент показывает отношение доходов 10%  членов общества с самыми высокими доходами к доходам 10%  с самыми низкими доходами. Если это отношение превышает 20, то распределение доходов называется несправедливым, иначе нормальным.

Дано:    F(z)= 1 – exp(6*ln(500/(500+z)))

Как видно на графике 1, F(9)=0,1  и F(234)=0,9. Это говорит о том, что 10% низкодоходных членов общества имеют доход не более 9 у.е., а 10% высокодоходных имеют доход более 234 у.е. Если взять эти числа как отношение, то получим Коэффициент Рейнбоу. Так как 234/9=26 и 26>20, то распределение доходов в данном обществе можно считать несправедливым.