Курсовая работа: Цифровая система передачи непрерывных сообщений

3. РАСЧЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ИСТОЧНИКА СООБЩЕНИЙ И ПЕРВИЧНЫХ СИГНАЛОВ

3.1 Расчет информационных характеристик источника непрерывных сообщений

Сообщение непрерывного источника преобразуется в первичный аналоговый сигнал  обычно без потери информации, поэтому расчеты информационных характеристик источника проводятся для первичного сигнала.

Исходные данные для расчета:

-  плотность вероятности мгновенных значений первичного сигнала  ¾ДЭР ;

-  максимальная частота спектра первичного сигнала =6,5 кГц;

-  отношение средней мощности первичного сигнала к средней мощности ошибки воспроизведения на выходе системы передачи = 30дБ=1000.

Подлежат расчету:

-  эпсилон-энтропия источника ;

-  коэффициент избыточности источника ;

-  производительность источника .

Эпсилон-энтропия определяет количество существенной информации в одном отсчете непрерывного сообщения и является мерой информативности (непредсказуемости) непрерывного источника. Эпсилон-энтропия Hε(В) определяется как минимальное количество информации, содержащейся в Z(t)=B(t)+E(t) относительно сигнала B(t), при котором Z(t) и B(t) эквивалентны. Эквивалентность принимается как близость в среднеквадратическом смысле:  - допустимое значение шума наблюдения.

Итак, по определению

Hε(B)=h(B)-maxh(B|Z), (3.1)

где,¾ максимум берется по всем условным распределениям p(b), для которых .Так как B(t)=Z(t)-E(t), то условная дифференциальная энтропия h(B|Z) при заданном сигнале Z(t) полностью определяется шумом воспроизведения E(t). Если шум воспроизведения имеет фиксированную дисперсию , то дифференциальная энтропия h(E) максимальна при гауссовском распределении и равна

h(E)=. (3.2)

Дифференциальная энтропия сигнала h(B) зависит от вида распределения вероятностей p(b) и дисперсии сигнала . У сигналов со средним значением равным нулю =Pb. Для равновероятного закона распределения случайных величин дифференциальная энтропия будет равна

 (3.3)

подставляя (3.2) и (3.3) в (3.1) получим

==4,878

=4,983

Величина  характеризует минимальное отношение сигнал/шум, при котором сигнал B(t) и процесс Z(t) еще эквивалентны.

Величина

 (3.4)

называется избыточностью источника с объемом алфавита L. Она показывает, какая доля максимально возможной при этом алфавите энтропии не используется источником.

Производительность источника непрерывных сообщений можно определить как количество информации, которое необходимо передать в единицу времени, чтобы восстановить сообщение при заданном критерии эквивалентности. Если источник выдает независимые отсчеты сообщения (сигнала) дискретно во времени со средней скоростью υ, то его эпсилон-производительность

  (3.5)

Эпсилон-производительность называют также скоростью создания информации при заданном критерии верности. Для источника непрерывных сообщений, ограниченных полосой Fс, согласно теореме Котельникова шаг дискретизации Δt=1/υ=1/(2Fc), т. е. необходимое число отсчетов в секунду равно 2/Fс. Если спектр сообщения в полосе Fс равномерен, то эти отсчеты некоррелированы, а для гауссовского источника и независимы. В этом случае

 бит/с. (3.6)

3.2 Расчет информационных характеристик сигнала на выходе АЦП

Исходные данные для расчета:

-  плотность распределения вероятностей мгновенных значений  ¾ ДЭР и коэффициент амплитуды =9 первичного сигнала;

-  число уровней квантования АЦП L=256;

-  частота дискретизации АЦП =15 кГц.

Подлежат расчету:

-  энтропия квантованных отсчетов ;

-  скорость создания информации на выходе АЦП .

Квантованный сигнал  является дискретным по уровню и его энтропия  вычисляется по формуле

 , (3.7)

(полагают, что производимые в АЦП отсчеты независимы). Входящие в эту формулу вероятности квантованных значений сигнала можно определить

, (3.8)

где  - квантованное значение сигнала на i-ом уровне квантования;

 - плотность вероятности сигнала ;

 - шаг квантования, определяемый по формуле (2.11).

Расчеты энтропии квантованного сигнала выполним с помощью ЭВМ.

Для ДЭР

 (3.9)

Некоторые источники передают сообщения с фиксированной скоростью, затрачивая в среднем время Т на каждое сообщение. Производительностью (в бит на секунду) такого источника H'(B) называется суммарная энтропия сообщений, переданных за единицу времени:

 (3.10)

.

Разницу между полученными значениями  и ( < ) можно объяснить тем, что код на выходе АЦП обладает некоторой избыточностью. Эта избыточность связана с применением двоичного кода, из-за которого число уровней квантования сигнала определяется формулой  и превышает необходимое а также, тем , что любой кодер должен обладать большей производительностью чем источник сообщения, что бы успевать его обрабатывать.

4. РАСЧЕТ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ДЕМОДУЛЯТОРА ДИСКРЕТНОЙ МОДУЛЯЦИИ

Требуется рассчитать:

-  зависимость вероятности ошибки бита от отношения сигнал/шум на входе демодулятора  и построить график этой зависимости;

-  значения требуемых отношений сигнал/шум на входе демодулятора  и , обеспечивающих допустимую вероятность ошибки бита .

Помехоустойчивость демодулятора сигнала дискретной модуляции определяют вероятностью ошибки сигнала  либо вероятностью ошибки двоичного символа р. Вероятности ошибки и р зависят от вида модуляции, способа приема, отношения энергии сигнала к удельной мощности помехи и характеристик канала связи.

Для двоичных сигналов  и р совпадают. Формулы для расчета вероятности ошибки символа при передаче двоичных сигналов по гауссовскому каналу связи с постоянными параметрами приведены в [2, разд. 6.5, 6.6]. Для ОФМ-2 вероятность ошибки двоичного кода будет определяться по формуле:

 (4.1)

где

 - функция Крампа.

Для заданного вида модуляции и способа приема рассчитаем и построим график зависимости

 (4.2)

График данной функции показан на рис 4.1, кривая f1(h).

Если в канале связи не используется помехоустойчивое кодирование, то допустимая вероятность ошибки символа на выходе демодулятора равняется значению , найденному при расчете параметров ЦАП либо декодера простого кода. Определим требуемое отношение сигнал/шум для системы передачи без кодирования , при котором . Получим =10,434 дБ.

Рисунок 4.1.¾ Вероятность ошибки бита от отношения сигнал/шум на входе демодулятора.

5. ВЫБОР КОРРЕКТИРУЮЩЕГО КОДА И РАСЧЕТ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОТИ СИСТЕМЫ СВЯЗИ С КОДИРОВАНИЕМ

Корректирующие коды позволяют повысить помехоустойчивость и тем самым уменьшить требуемое отношение сигнал/шум на входе демодулятора при заданной вероятности ошибки передаваемых символов. При помехоустойчивом кодировании обнаружение и исправление ошибок возможно потому, что большая часть из 2n двоичных комбинаций длины n не используется для передачи сообщений источника (запрещённые комбинации). Появление запрещённой комбинации на приёмном конце однозначно свидетельствует об ошибке в канале.

Кодовые (разрешённые) комбинации должны удовлетворять некоторой системе проверок (задающей код), что позволяет отличать их от запрещённых комбинаций. Результатом вычисления проверок для принятой из канала комбинации является синдром. Если синдром нулевой, то принята кодовая комбинация (ошибок нет). При обнаружении ошибок декодер отбрасывает те принятые комбинации, которые имеют ненулевой синдром. При исправлении ошибок декодер по синдрому определяет положение ошибочных символов в принятой комбинации и инвертирует их.

Величина, показывающая во сколько раз (на сколько дБ) уменьшается требуемое кодирование, называется энергетическим выигрышем кодирования (ЭВК).

Каналы связи с помехоустойчивым кодированием и без него удобно сравнивать, если в качестве отношения сигнал/шум использовать отношение энергии сигнала, затрачиваемой на передачу одного информационного символа , к удельной мощности шума :

(5.1)

Так, если в канале связи без кодирования требуемое отношение сигнал/шум для обеспечения заданной вероятности ошибки обозначим , а в канале связи с кодированием - , то ЭВК будет определяться

или

.(5.2)

Исходные данные для расчета:

-  требуемый ЭВК ¾ D=2,2 дБ;

-  вид модуляции в канале связи и способ приема ¾ ОФМ-2, когерентный;

-  тип непрерывного канала связи ¾ канал с постоянными параметрами и аддитивным Гауссовым шумом;

-  допустимая вероятность ошибки двоичного символа на выходе декодера ;

-  отношение сигнал/шум на входе демодулятора дБ , обеспечивающее допустимую вероятность ошибки  в канале кодирования;

-  длительность двоичного символа на входе кодера корректирующего кода  мкс.

Требуется:

-  выбрать и обосновать параметры кода: значность п, число информационных символов кодовой комбинации k и кратность исправляемых ошибок ;

-  рассчитать зависимость вероятности ошибки символа на выходе декодера от отношения сигнал/шум на входе демодулятора  при использовании выбранного кода;

-  определить полученный ЭВК;

-  вычислить требуемое отношение  на входе демодулятора.

Прежде всего рассмотрим методику расчета помехоустойчивости канала связи с корректирующим кодом. Предположим, что параметры кода п, k и  и отношение сигнал/шум  заданы. При декодировании с исправлением ошибок вероятность ошибочного декодирования определяется из условия, что число ошибок в кодовой комбинации на входе декодера q превышает кратность исправляемых ошибок [2, ф-ла (5.15)]:

,(5.3)

где

 -(5.4)

вероятность ошибки кратности q

 -(5.5)

число сочетаний из п по q;

р - вероятность ошибки двоичного символа на входе декодера, расчет которой для гауссовского канала связи с постоянными параметрами рассмотрен в разд. 4. В используемые там формулы необходимо подставлять

.(5.6)

Соотношение (5.6) учитывает уменьшение длительности символов, передаваемых по непрерывному каналу связи, из-за введения в кодовые комбинации дополнительных символов при кодировании, и соответствующее уменьшение энергии сигнала на входе демодулятора.

Для перехода от вероятности ошибочного декодирования  к вероятности ошибки двоичного символа  достаточно учесть принцип исправления ошибок декодером: декодер запрещенную кодовую комбинацию заменяет ближайшей разрешенной. Поэтому, если число ошибок в комбинации q= ,но , то в результате декодирования комбинация будет содержать  ошибок ( - кодовое расстояние кода). Поскольку ошибки более высокой вероятности маловероятны, то окончательно можно считать, что в ошибочно декодированной комбинации имеется  ошибочных символов. У корректирующих кодов кодовое расстояние . С учетом этого переход от  к  можно выполнить по формуле

(5.7)

Приведенные соотношения позволяют выполнить расчет помехоустойчивости в канале связи с корректирующим кодом при заданных параметрах кода п, k и , отношении сигнал/шум в непрерывном канале связи , виде модуляции, способе приема и длительности символа  в следующем порядке:

1.  Расчет отношения сигнал/шум  на входе демодулятора по формуле (5.6);

2.  Расчет вероятности ошибки символа на выходе демодулятора р по методике, изложенной в разд. 4;

3.  Расчет вероятности ошибочного декодирования кодовой комбинации  по формулам (5.3)…(5.5);

4.  Расчет вероятности ошибки символа на выходе декодера  по формуле (5.7).

Согласно заданию на курсовую работу требуется выбрать и обосновать параметры кода, обеспечивающего требуемый ЭВК. Перейдем к решению этой задачи.

Чем больше кратность исправляемых ошибок , тем более высокая помехоустойчивость может быть достигнута за счет применения кодирования. Но при увеличении  растет сложность кодера и особенно декодера. Рассмотрим применение кодов со значением =1 и, соответственно, с =4.

Для любого натурального числа r=n-k существует код Хемминга с =4 при  [2, с. 149]. К кодам Хемминга любой длины п с наименьшим числом r, удовлетворяющим условию

(5.8)

Используя соотношение (5.8) можно указать пару чисел n и k, при которых существует код Хемминга. Так как k=8 ¾ число информационных символов на выходе АЦП, то n=12.

При увеличении n имеет место следующее: уменьшается скорость кода  или расширяется полоса частот, занимаемая канальным сигналом, увеличивается отношение сигнал/шум  (ф-ла (5.6)) на входе демодулятора при фиксированном значении  , уменьшается вероятность ошибки символа на входе декодера р. При малых значениях р и не слишком больших значениях п величина  убывает быстрее, нежели растет число , и величины  и  уменьшаются. Следовательно, при увеличении п увеличивается ЭВК. При больших значениях п уменьшение  замедляется и при достаточно больших значениях п начинается рост  и уменьшение ЭВК.

После набора кода рассчитаем зависимость, характеризующую помехоустойчивость канала связи с кодированием. Используя формулы (5.3)…(5.7) и методику построения зависимости вероятности ошибки бита от отношения сигнал/шум на входе демодулятора (разд. 4) получим

 (5.9)

Изменяя величину  в широких пределах, получим зависимость  (рис.4.1), характеризующую помехоустойчивость канала связи с выбранным кодом. По этой зависимости определим требуемое отношение сигнал/шум  на входе демодулятора, при котором обеспечивается допустимая вероятность ошибки символа на выходе декодера, т.е.  . По найденному значению =8.172 дБ и полученному при расчете помехоустойчивости демодулятора значению =10,434дБ определим ЭВК по формуле (5.2).

D=-=2.262 дБ.

Определим требуемое отношение сигнал/шум на входе демодулятора в канале связи с кодированием

= 61,23 дБ (5.10)

Применение помехоустойчивого кодирования позволило уменьшить отношение сигнал/шум на входе демодулятора, для заданного качества обслуживания; энергетический выигрыш кодирования превысил заданный и составил 2,262 дБ вместо требуемого 2,2 дБ.

Рис.5.1. Графики зависимости вероятности ошибки бита от отношения сигнал/шум на входе демодулятора и на выходе декодера.

6. РАСЧЕТ ЭФФЕКТИВНОСТИ СИСТЕМЫ СВЯЗИ

Эффективность системы связи оценивают коэффициентами информационной, частотной и энергетической эффективности, определяемыми формулами. Для оценки эффективности систем связи используют коэффициент использования канала по мощности β (энергетическую эффективность) и коэффициент использования канала по полосе частот γ (частотную эффективность):

 , (6.1)

 , (6.2)

где R — скорость передачи информации;

ρ0 — отношение мощности сигнала Рс к спектральной плотности N0 мощности шума;

F — ширина полосы частот, занимаемой сигналом.

Безразмерные коэффициенты β и γ имеют смысл удельных скоростей (скоростей отнесенных к одному из параметров канала). Так, коэффициент γ определяет скорость передачи информации в единичной полосе частот.

Обобщенной характеристикой эффективности систем связи является коэффициент использования канала по пропускной способности (информационная эффективность)

  (6.3)

С учетом формулы Шеннона:,где ρ=Рс/Рш — отношение мощностей сигнала и шума в полосе F, получаем следующее выражения:

  (6.4)

При расчетах эффективности под каналом связи понимают совокупность средств, обеспечивающих передачу сигналов от выхода модулятора до входа демодулятора.

Исходные данные для расчета:

-  тип канала связи - канал с постоянными параметрами и аддитивным белым гауссовским шумом;

-  метод модуляции ОФМ-2;

-  параметры, определяющие ширину спектра модулированного сигнала и полосу пропускания канала связи: =8,33 мкс, (Pc /N0)1 = 1,327*106; (Pc /N0)2 = 0,788*106

-  скорость передачи информации Ru=63,4 кбит/с;

-  параметры корректирующего кода: n=12, k=8.

Пропускная способность непрерывного канала связи определяется формулой Шеннона (4.48) в [1]:

. (6.7)

Входящая в эту формулу полоса пропускания канала связи  принимается равной ширине спектра модулированного сигнала .

а) дискретная модуляция без помехоустойчивого кодирования:

При передаче сигналов дискретной модуляции минимально возможная ширина спектра сигналов определяется пределом Найквиста [1, с.284]: при ОФМ

,(6.5)

 -   (6.6)

длительность элемента модулированного сигнала;

 - длительность двоичного символа на входе демодулятора.

Если передаваемое сообщение не подвергается помехоустойчивому кодированию, то значение  равно длительности двоичного символа  на выходе АЦП либо кодера простого кода.

 8,33 мкс

 кГц

кбит/с

б)дискретная модуляция с помехоустойчивым кодированием:

используем формулу, в которой учитываются параметры корректирующего кода:

,(6.7)

где n и k - параметры корректирующего кода, равные соответственно 16 и 11,

с

 5,553 мкс

Длительность элемента модулированного сигнала будет равна

 кбит/с

 кбит/с

Сопоставим полученные значения пропускной способности канала связи С с производительностью источника , найденную при расчете информационных характеристик источника сообщений:

а) дискретная модуляция без помехоустойчивого кодирования:

Ru=63,4 кбит/с С=190 кбит/с

Ru<С.

б)дискретная модуляция с помехоустойчивым кодированием:

Ru=63,4 кбит/с С=282,2 кбит/с

Ru<С.

Применим теорему Шеннона [1, разд. 4.6] к полученным выводам (а и б): т.к. Ru<С, то существует такой способ кодирования и декодирования, при котором вероятность ошибочного декодирования сколь угодно мала.

Для расчета эффективностей скорость передачи информации  можно принять равной производительности источника  – при том качестве воспроизведения сообщений, которое имеет место в рассчитываемой системе связи, потери информации пренебрежимо малы.

Энергетическая эффективность.

а) По формуле (6.1) рассчитаем энергетическую эффективность для дискретной модуляции без помехоустойчивого кодирования

(-13,2 дБ)

б) По формуле (6.1) рассчитаем энергетическую эффективность для дискретной модуляции с помехоустойчивым кодированием

Частотная эффективность.

а) дискретная модуляция без помехоустойчивого кодирования:

частотную эффективность найдем по формуле

, (6.10)

где F – ширина спектра модулированного сигнала, равная 120 кГц,

(-2,77 дБ)

б) дискретная модуляция с помехоустойчивым кодированием:

используем формулу (6.10), подставив ширину спектра модулированного сигнала F= 180 кГц:

(-4,53 дБ)

Информационная эффективность.

а) дискретная модуляция без помехоустойчивого кодирования:

информационную эффективность найдем по формуле

, (6.11)

где С – пропускная способность непрерывного канала, равная 190 кбит/с

б) дискретная модуляция с помехоустойчивым кодированием:

используем формулу (6.11), подставив С=282,2 кбит/с:

Рассчитаем и построим график предельной зависимости  - предел Шеннона. В [1, рис. 10.1] построен график  для системы со сколь угодно малой вероятностью ошибок, т.е. . Тогда из формулы (6.4) для этого случая находим зависимость  от

 .

Полученная кривая является предельной и отражает наилучший обмен между  и  в непрерывном канале.

В реальных системах вероятность ошибки р всегда имеет конечное значение и < 1. Подставив значения информационной эффективности для систем без и с помехоустойчивым кодированием, построим (рис.6.1) два графика предельной зависимости по формуле, которую получаем из (6.4):

 . (6.12)

Значения  и  откладывают в логарифмических единицах - соответственно  и .

Рисунок 6.1 – Кривая предельной энергетической и частотной эффективности системы.

Для повышения эффективности СПИ широко используются помехоустойчивые коды. Применение корректирующих кодов позволяет повысить верность передачи сообщений или при заданной верности повысить энергетическую эффективность системы. Последнее особенно важно для систем c малой энергетикой (систем спутниковой и космической связи).

При увеличении числа позиций М в системах с ЧМ энергетическая эффективность увеличивается а частотная уменьшается а в системах ФМ и ОФМ –наоборот. Из простых систем ОФМ-2 — это одна из наиболее эффективных систем.

Эффективность системы можно существенно повысить, если перейти от дискретных каналов к каналам с непрерывным выходом (полунепрерывные каналы) а также при использовании много позиционных сигналов.

Однако при создании конкретных систем оценки эффективности по техническим параметрам совершенно не достаточно. Необходим технико-экономический подход, при котором совместно учитываются технические и экономические параметры системы. Одним из таких подходов является принцип минимальных затрат, согласно которому лучшей считается та система, для реализации и эксплуатации которой требуются наименьшие затраты при заданном техническом эффекте. В качестве технического эффекта можно принять информационную эффективность при допустимой верности передачи. Таким образом, выбор системы по показателям γ и β является исходным для последующего технико-экономического анализа системы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечень выполненных расчетов:

Интервал дискретизации по времени мкс

Значность двоичного кода АЦП .

Мощность шума квантованияВт.

Допустимая вероятность ошибки символа  на входе ЦАП

Длительность двоичного символа на выходе АЦП  мкс.

Эпсилон-энтропия источника .

Производительность источника бит/с.

Скорость создания информации на выходе квантующего устройства

Отношение сигнал/шум на входе демодулятора =10,434 дБ.

Параметры корректирующего кода: n=12; k=8.

Отношение сигнал/шум на выходе декодера =8,172дБ .

ЭВК  дБ.

Эффективности систем

Все выполненные расчеты соответствуют исходным данным.

В данной работе исследовалась цифровая система передачи информации с помехоустойчивым кодированием и без него. При использовании помехоустойчивого кодирования мы существенно понижаем вероятность приема неверного бита информации. Однако при использовании помехоустойчивого кодирования понижается степень использования пропускной способности канала связи. Для моделирования первичного сигнала использовалась ОФМ-2 модуляция. Из простых систем ОФМ-2 — это одна из наиболее эффективных систем.