Реферат: VB, MS Access, VC++, Delphi, Builder C++ принципы(технология), алгоритмы программирования

Можно использовать первую цифру меток pc, для определения номера блока кода, который должен выполняться. Перенумеруем строки в коде SierpA числами 11, 12, 13 и т.д. Перенумеруем строки в коде SierpB числами 21, 22, 23 и т.д.

Теперь можно пронумеровать ключевые строки кода внутри каждого из блоков. Для кода подпрограммы SierpA ключевыми строками будут:

        ' Код SierpA.

11      If Depth = 1 Then

           Line -Step(-Dist, Dist)

            Line -Step(-Dist, 0)

           Line -Step(-Dist, -Dist)

        Else

           SierpA Depth - 1, Dist

12         Line -Step(-Dist, Dist)

           SierpB Depth - 1, Dist

13         Line -Step(-Dist, 0)

           SierpD Depth - 1, Dist

14         Line -Step(-Dist, -Dist)

           SierpA Depth - 1, Dist

        End If

Типичная «рекурсия» из кода подпрограммы SierpA в код подпрограммы SierpB выглядит так:

SaveValues Depth, 13   ' Продолжить с шага 13 после завершения.

Depth = Depth - 1

pc = 21                ' Передать управление на начало кода SierpB.

======113

Метка 0 зарезервирована для обозначения выхода из «рекурсии». Следующий код демонстрирует нерекурсивную версию процедуры SierpAll. Код для подпрограмм SierpB, SierpC, и SierpD аналогичен коду для SierpA, поэтому он опущен.

Private Sub SierpAll(Depth As Integer, pc As Integer)

    Do

        Select Case pc

            ' **********

            ' * SierpA *

            ' **********

           Case 11

               If Depth <= 1 Then

                   SierpPicture.Line -Step(-Dist, Dist)

                   SierpPicture.Line -Step(-Dist, 0)

                   SierpPicture.Line -Step(-Dist, -Dist)

                   pc = 0

               Else

                   SaveValues Depth, 12  ' Выполнить SierpA

                   Depth = Depth - 1

                   pc = 11

               End If

           Case 12

               SierpPicture.Line -Step(-Dist, Dist)

               SaveValues Depth, 13      ' Выполнить SierpB

               Depth = Depth - 1

               pc = 21

           Case 13

               SierpPicture.Line -Step(-Dist, 0)

               SaveValues Depth, 14      ' Выполнить SierpD

               Depth = Depth - 1

               pc = 41

           Case 14

               SierpPicture.Line -Step(-Dist, -Dist)

               SaveValues Depth, 0       ' Выполнить SierpA

               Depth = Depth - 1

               pc = 11

            ' Код для SierpB, SierpC и SierpD опущен.

                   :

            ' *******************

            ' * Конец рекурсии. *

            ' *******************

           Case 0

               If TopOfStack <= 0 Then Exit Do

               RestoreValues Depth, pc

        End Select

    Loop

End Sub

=====114

Так же, как и в случае с алгоритмом построения кривых Гильберта, преобразование алгоритма построения кривых Серпинского в нерекурсивную форму не изменяет время выполнения алгоритма. Новая версия алгоритма имитирует рекурсивный алгоритм, который выполняется за время порядка O(N4), поэтому порядок времени выполнения новой версии также составляет O(N4). Она выполняется немного медленнее, чем рекурсивная версия, и является намного более сложной.

Нерекурсивная версия также могла бы рисовать кривые более высоких порядков, но построение кривых Серпинского с порядком выше 8 или 9 непрактично. Все эти факты определяют преимущество рекурсивного алгоритма.

Программа Sierp2 использует этот нерекурсивный алгоритм для построения кривых Серпинского. Задавайте вначале построение несложных кривых (меньше 6 порядка), пока не определите, насколько быстро будет выполняться эта программа на вашем компьютере.

Резюме

При применении рекурсивных алгоритмов следует избегать трех основных опасностей:

·         Бесконечной рекурсии. Убедитесь, что условия остановки вашего алгоритма прекращают все рекурсивные пути.

·         Глубокой рекурсии. Если алгоритм достигает слишком большой глубины рекурсии, он может привести к переполнению стека. Минимизируйте использование стека за счет уменьшения числа определяемых в процедуре переменных, использования глобальных переменных, или определения переменных как статических. Если процедура все равно приводит к переполнению стека, перепишите алгоритм в нерекурсивном виде, используя устранение хвостовой рекурсии.

·         Ненужной рекурсии. Обычно это происходит, если алгоритм типа рекурсивного вычисления чисел Фибоначчи, многократно вычисляет одни и те же промежуточные значения. Если вы столкнетесь с этой проблемой в своей программе, попробуйте переписать алгоритм, используя подход снизу вверх. Если алгоритм не позволяет прибегнуть к подходу снизу вверх, создайте таблицу промежуточных значений.

Применение рекурсии не всегда неправильно. Многие задачи являются рекурсивными по своей природе. В этих случаях рекурсивный алгоритм будет проще понять, отлаживать и поддерживать, чем его нерекурсивную версию. В качестве примера можно привести алгоритмы построения кривых Гильберта и Серпинского. Оба по своей природе рекурсивны и намного понятнее, чем их нерекурсивные модификации. При этом рекурсивные версии даже выполняются немного быстрее.

Если у вас есть алгоритм, который рекурсивен по своей природе, но вы не уверены, будет ли рекурсивная версия лишена проблем, запишите алгоритм в рекурсивном виде и выясните это. Может быть, проблемы не возникнут. Если же они возникнут, то, возможно, окажется проще преобразовать эту рекурсивную версию в нерекурсивную, чем написать нерекурсивную версию с нуля.

======115

Во 2 главе приводились способы создания динамических связных структур, таких, как изображенные на рис 6.1. Такие структуры данных называются графами (graphs). В 12 главе алгоритмы работы с графами и сетями обсуждаются более подробно. В этой главе рассматриваются графы особого типа, которые называются деревьями (trees).

В начале этой главы приводится определение дерева и разъясняются некоторые термины. Затем в ней описываются некоторые методы реализации деревьев различных типов на языке Visual Basic. В последующих разделах рассматривается несколько алгоритмов обхода для деревьев, записанных в этих разных форматах. Глава заканчивается обсуждением некоторых специальных типов деревьев, включая упорядоченные деревья (sorted trees), деревья со ссылками[RV7] (threaded trees), боры[RV8]  (tries) и квадродеревья[RV9]  (quadtrees).

В 7 и 8 главе обсуждаются более сложные темы — сбалансированные деревья и деревья решений.

@Рис. 6.1. Графы

=====117

Определения

Можно рекурсивно определить дерево как:

*      Пустую структуру или

*      Узел, называемый корнем (node) дерева, связанный с нулем или более поддеревьев (subtrees).

На рис. 6.2 показано дерево. Корневой узел A связан с тремя поддеревьями, начинающимися в узлах B, C и D. Эти узлы связаны с поддеревьями с корнями E, F и G, и эти узлы, в свою очередь связаны с поддеревьями с корнями H, I и J.

Терминология деревьев представляет собой смесь терминов, позаимствованных из ботаники и генеалогии. Из ботаники пришли термины, такие как узел (node), определяемый как точка, в которой может начинаться ветвление, ветвь (branch), определяемая как связь между двумя узлами, и лист (leaf) — узел, из которого не выходят другие ветви.

Из генеалогии пришли термины, которые описывают родство. Если один узел находится непосредственно над другим, верхний узел называется родителем (parent), а нижний дочерним узлом (child). Узлы на пути вверх от узла до корня называются предками (ancestors) узла. Например, на рис. 6.2 узлы E, B и A — это все предки узла I.

Узлы, которые находятся ниже какого‑либо узла дерева, называются потомками (descendants) этого узла. Узлы E, H, I и J на рис. 6.2 — это все потомки узла B.

Иногда узлы, имеющие одного родителя, называются узлами‑братьями или узлами‑сестрами (sibling nodes).

Существует еще несколько терминов, которые не пришли из ботаники или генеалогии. Внутренним узлом (internal node) называется узел, который не является листом. Порядком узла (node degree) называется число его дочерних узлов. Порядок дерева — это наибольший порядок его узлов. Дерево на рис. 6.2 — третьего порядка, потому что узлы с наибольшим порядком, узлы A и E, имеют по 3 дочерних узла.

Глубина (depth) дерева равна числу его предков плюс 1. На рис. 6.2 глубина узла E равна 3. Глубиной (depth) или высотой (height) дерева называется наибольшая глубина его узлов. Глубина дерева на рис. 6.2 равна 4.

Дерево 2 порядка называется двоичным деревом (binary tree). Деревья третьего порядка иногда называются троичными[RV10]  (ternary) деревьями. Более того, деревья порядка N иногда называются N‑ичными (N‑ary) деревьями.

@Рис. 6.2. Дерево

======118

Дерево порядка 12, например, называется 12‑ричным (12‑ary) деревом, а не додекадеричным (dodecadary) деревом. Некоторые избегают употребления лишних терминов и просто говорят «деревья 12 порядка».

Рис. 6.3 иллюстрирует некоторые из этих терминов.

Представления деревьев

Теперь, когда вы познакомились с терминологией, вы можете представить себе способы реализации деревьев на языке Visual Basic. Один из способов — создать отдельный класс для каждого типа узлов дерева. Для построения дерева, показанного на рис. 6.3, вы можете определить структуры данных для узлов, которые имеют ноль, один, два или три дочерних узла. Этот подход был бы довольно неудобным. Кроме того, что нужно было бы управлять четырьмя различными классами, в классах потребовались бы какие‑то флаги, которые бы указывали тип дочерних узлов. Алгоритмы, которые оперировали бы этими деревьями, должны были бы уметь работать со всем различными типами деревьев.

Полные узлы

В качестве простого решения можно определить один тип узлов, который содержит достаточное число указателей на потомков для представления всех нужных узлов. Я называю это методом полных узлов, так как некоторые узлы могут быть большего размера, чем необходимо на самом деле.

Дерево, изображенное на рис 6.3, имеет 3 порядок. Для построения этого дерева с использованием метода полных узлов (fat nodes), требуется определить единственный класс, который содержит указатели на три дочерних узла. Следующий код демонстрирует, как эти указатели могут быть определены в классе TernaryNode.

Public LeftChild As TernaryNode

Public MiddleChild As TernaryNode

Public RightChild As TernaryNode

@Рис. 6.3. Части троичного (3 порядка) дерева

======119

При помощи этого класса можно построить дерево, используя записи Child узлов, для связи их друг с другом. Следующий фрагмент кода строит два верхних уровня дерева, показанного на рис. 6.3.

Dim A As New TernaryNode

Dim B As New TernaryNode

Dim C As New TernaryNode

Dim D As New TernaryNode

    :

    Set A.LeftChild = B

    Set A.MiddleChild = C

    Set A.RightChild = D

[RV11]   :

Программа Binary, показанная на рис. 6.4, использует метод полных узлов для работы с двоичным деревом. Когда вы выбираете узел с помощью мыши, программа подсвечивает кнопку Add Left (Добавить слева), если узел не имеет левого потомка и кнопку Add Right (Добавить справа), если узел не имеет правого потомка. Кнопка Remove (Удалить) разблокируется, если выбранный узел не является корневым. Если вы нажмете на кнопку Remove, программа удалит узел и всех его потомков.

Поскольку программа позволяет создать узлы с нулевым числом, одним или двумя дочерними узлами, она использует представление в виде полных узлов. Вы можете легко распространить этот пример на деревья более высоких порядков.

Списки потомков

Если порядки узлов в дереве сильно различаются, метод полных узлов приводит к напрасному расходованию большого количества памяти. Чтобы построить дерево, показанное на рис. 6.5 с использованием полных узлов, вам понадобится определить в каждом узле по шесть указателей, хотя только в одном узле все шесть из них используются. Это представление дерева потребует 72 указателей на дочерние узлы, из которых в действительности будет использоваться только 11.

@Рис. 6.4. Программа Binary

======120

Некоторые программы добавляют и удаляют узлы, изменяя порядок узлов в процессе выполнения. В этом случае метод полных узлов не будет работать. Такие динамически изменяющиеся деревья можно представить, поместив дочерние узлы в списки. Есть несколько подходов, которые можно использовать для создания списков дочерних узлов. Наиболее очевидный подход заключается в создании в классе узла открытого (public) массива дочерних узлов, как показано в следующем коде. Тогда для оперирования дочерними узлами можно использовать методы работы со списками на основе массивов.

Public Children() As TreeNode

Public NumChildren As Integer

К сожалению, Visual Basic не позволяет определять открытые массивы в классах. Это ограничение можно обойти, определив массив как закрытый (private), и оперируя элементами массива при помощи процедур свойств.

Private m_Chirdren() As TreeNode

Private m_NumChildren As Integer

Property Get Children(Index As Integer) As TreeNode

    Set Children = m_Children(Index)

End Property

Property Get NumChildren() As Integer

    NumChildren = m_NumChildren()

End Property

Второй подход состоит в том, чтобы сохранять ссылки на дочерние узлы в связных списках. Каждый узел содержит ссылку на первого потомка. Он также содержит ссылку на следующего потомка на том же уровне дерева. Эти связи образуют связный список узлов одного уровня, поэтому я называю этот метод представлением в виде связного списка узлов одного уровня (linked sibling). За информацией о связных списках вы можете обратиться ко 2 главе.

@Рис. 6.5. Дерево с узлами различных порядков

======121

Третий подход заключается в том, чтобы определить в классе узла открытую коллекцию, которая будет содержать дочерние узлы:

Public Children As New Collection

Это решение позволяет использовать все преимущества коллекций. Программа может при этом легко добавлять и удалять элементы из коллекции, присваивать дочерним узлам ключи, и использовать оператор For Each для выполнения циклов со ссылками на дочерние узлы.

Программа NAry, показанная на рис. 6.6, использует коллекцию дочерних узлов для работы с деревьями порядка N в основном таким же образом, как программа Binary работает с двоичными деревьями. В этой программе, тем не менее, можно добавлять к каждому узлу любое количество потомков.

Для того чтобы избежать чрезмерного усложнения пользовательского интерфейса, программа NAry всегда добавляет новые узлы в конец коллекции дочерних узлов родителя. Вы можете модифицировать эту программу, реализовав вставку дочерних узлов в середину коллекции, но пользовательский интерфейс при этом усложнится.

Представление нумерацией связей

Представление нумерацией связей (forward star), впервые упомянутое в 4 главе, позволяет компактно представить деревья, графы и сети при помощи массива. Для представления дерева нумерацией связей, в массиве FirstLink записывается индекс для первых ветвей, выходящих из каждого узла. В другой массив, ToNode, заносятся узлы, к которым ведет ветвь.

Сигнальная метка в конце массива FirstLink указывает на точку сразу после последнего элемента массива ToNode. Это позволяет легко определить, какие ветви выходят из каждого узла. Ветви, выходящие из узла I, находятся под номерами от FirstLink(I) до FirstLink(I+1)-1. Для вывода связей, выходящих из узла I, можно использовать следующий код:

For link = FirstLink(I) To FirstLink(I + 1) - 1

    Print Format$(I) & " -> " & Format$(ToNode(link))

Next link

@Рис. 6.6. Программа Nary

=======123

На рис. 6.7 показано дерево и его представление нумерацией связей. Связи, выходящие из 3 узла (обозначенного буквой D) это связи от FirstLink(3) до FirstLink(4)-1. Значение FirstLink(3) равно 9, а FirstLink(4) = 11, поэтому это связи с номерами 9 и 10. Записи ToNode для этих связей равны ToNode(9) = 10 и ToNode(10) = 11, поэтому узлы 10 и 11 будут дочерними для 3 узла. Это узлы, обозначенные буквами K и L. Это означает, что связи, покидающие узел D, ведут к узлам K и L.

Представление дерева нумерацией связей компактно и основано на массиве, поэтому деревья, представленные таким образом, можно легко считывать из файлов и записывать в файл. Операции для работы с массивами, которые используются при таком представлении, также могут быть быстрее, чем операции, нужные для использования узлов, содержащих коллекции дочерних узлов.

По этим причинам большая часть литературы по сетевым алгоритмам использует представление нумерацией связей. Например, многие статьи, касающиеся вычисления кратчайшего пути, предполагают, что данные находятся в подобном формате. Если вам когда‑либо придется изучать эти алгоритмы в журналах, таких как “Management Science” или “Operations Research”, вам необходимо разобраться в этом представлении.

@Рис. 6.7. Дерево и его представление нумерацией связей

=======123

Используя представление нумерацией связей, можно быстро найти связи, выходящие из определенного узла. С другой стороны, очень сложно изменять структуру данных, представленных в таком виде. Чтобы добавить к узлу A на рис. 6.7 еще одного потомка, придется изменить почти все элементы в обоих массивах FirstLink и ToNode. Во‑первых, каждый элемент в массиве ToNode нужно сдвинуть на одну позицию вправо, чтобы освободить место под новый элемент. Затем, нужно вставить новую запись в массив ToNode, которая указывает на новый узел. И, наконец, нужно обойти массив ToNode, обновив каждый элемент, чтобы он указывал на новое положение соответствующей записи ToNode. Поскольку все записи в массиве ToNode сдвинулись на одну позицию вправо, чтобы освободить место для новой связи, потребуется добавить единицу ко всем затронутым записям FirstLink.

На рис. 6.8 показано дерево после добавления нового узла. Записи, которые изменились, закрашены серым цветом.

Удаление узла из начала представления нумерацией связей так же сложно, как и вставка узла. Если удаляемый узел имеет потомков, процесс занимает еще больше времени, поскольку придется удалять и все дочерние узлы.

Относительно простой класс с открытой коллекцией дочерних узлов лучше подходит, если нужно часто модифицировать дерево. Обычно проще понимать и отлаживать процедуры, которые оперируют деревьями в этом представлении. С другой стороны, представление нумерацией связей иногда обеспечивает более высокую производительность для сложных алгоритмов работы с деревьями. Оно также являются стандартной структурой данных, обсуждаемой в литературе, поэтому вам следует ознакомиться с ним, если вы хотите продолжить изучение алгоритмов работы с сетями и деревьями.

@Рис. 6.8. Вставка узла в дерево, представленное нумерацией связей

=======124

Программа Fstar использует представление нумерацией связей для работы с деревом, имеющим узлы разного порядка. Она аналогична программе NAry, за исключением того, что она использует представление на основе массива, а не коллекций.

Если вы посмотрите на код программы Fstar, вы увидите, насколько сложно в ней добавлять и удалять узлы. Следующий код демонстрирует удаление узла из дерева.

Sub FreeNodeAndChildren(ByVal parent As Integer, _

        ByVal link As Integer, ByVal node As Integer)

    ' Recursively remove the node's children.

    Do While FirstLink(node) < FirstLink(node + 1)

        FreeNodeAndChildren node, FirstLink(node), _

           ToNode(FirstLink(node))

    Loop

    ' Удалить связь.

    RemoveLink parent, link

    ' Удалить сам узел.

    RemoveNode node

End Sub

Sub RemoveLink(node As Integer, link As Integer)

Dim i As Integer

    ' Обновить записи массива FirstLink.

    For i = node + 1 To NumNodes

        FirstLink(i) = FirstLink(i) - 1

    Next i

    ' Сдвинуть массив ToNode чтобы заполнить пустую ячейку.

    For i = link + 1 To NumLinks - 1

        ToNode(i - 1) = ToNode(i)

    Next i

    ' Удалить лишний элемент из ToNode.

    NumLinks = NumLinks - 1

    If NumLinks > 0 Then ReDim Preserve ToNode(0 To NumLinks - 1)

End Sub

Sub RemoveNode(node As Integer)

Dim i As Integer

    ' Сдвинуть элементы массива FirstLink, чтобы заполнить

    ' пустую ячейку.

    For i = node + 1 To NumNodes

        FirstLink(i - 1) = FirstLink(i)

    Next i

    ' Сдвинуть элементы массива NodeCaption.

    For i = node + 1 To NumNodes - 1

        NodeCaption(i - 1) = NodeCaption(i)

    Next i

    ' Обновить записи массива ToNode.

    For i = 0 To NumLinks - 1

        If ToNode(i) >= node Then ToNode(i) = ToNode(i) - 1

    Next i

    ' Удалить лишнюю запись массива FirstLink.

    NumNodes = NumNodes - 1

    ReDim Preserve FirstLink(0 To NumNodes)

    ReDim Preserve NodeCaption(0 To NumNodes - 1)

    Unload FStarForm.NodeLabel(NumNodes)

End Sub

Это намного сложнее, чем соответствующий код в программе NAry:

Public Function DeleteDescendant(target As NAryNode) As Boolean

Dim i As Integer

Dim child As NAryNode

    ' Является ли узел дочерним узлом.

    For i = 1 To Children.Count

        If Children.Item(i) Is target Then

           Children.Remove i

           DeleteDescendant = True

           Exit Function

        End If

    Next i

    ' Если это не дочерний узел, рекурсивно

    ' проверить остальных потомков.

    For Each child In Children

        If child.DeleteDescendant(target) Then

           DeleteDescendant = True

           Exit Function

        End If

    Next child

End Function

=======125-126

Полные деревья

Полное дерево (complete tree) содержит максимально возможное число узлов на каждом уровне, кроме нижнего. Все узлы на нижнем уровне сдвигаются влево. Например, каждый уровень троичного дерева содержит в точности три дочерних узла, за исключением листьев, и возможно, одного узла на один уровень выше листьев. На рис. 6.9 показаны полные двоичное и троичное деревья.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33