Реферат: Расчет затвердевания плоской отливки

Реферат: Расчет затвердевания плоской отливки

Министерство образования Российской Федерации

Сибирский государственный индустриальный университет

Кафедра литейного производства

Расчет затвердевания плоской отливки

в массивной форме

Выполнили: ст. гр. МЛА-97

Злобина С. А.

Карпинский А. В.

Кирина Л. В.

Тимаревский А. В.

Токар А. Н.

Проверил: доцент, к.т.н.

Передернин Л.В.

Новокузнецк 2001

Содержание. 2

Задание. 3

Постановка задачи. 4

1.   Графическое представление. 4

2.   Математическая формулировка задачи. 5

Метод расчета. 7

Схема апроксимации. 8

Алгоритм расчета. 11

Идентификаторы.. 13

Блок-схема. 14

Программа. 17

Сравнение с инженерными методами расчета. 20

Результаты расчета. 21

Отливка в виде бесконечной плиты толщиной 2Lo=30 мм

Сплав: Латунь (10% Zn).

Форма: Песчано-глинистая объемная сырая (ПГФ).

Индексы: 1-Метв, 2- Меж, 4-форма.

а1=3,6×10-5 м2/с

а2=2,1×10-5 м2/с

l1=195 Вт/м×К

l2=101 Вт/м×К

r1=8600 кг/м3

r2=8000 кг/м3

L=221000 Дж/кг

b4=1300 Вт×с1/2/(м2×К)

Tф=293 К

Ts=1312,5 К

Tн=1345 К

N=100

et=0,01 c

eТ=0,01 oC

1. 
Графическое представление

Принимаем следующие условия:

Отливка в виде бесконечной плиты толщиной 2Lo затвердевает в объемной массивной песчано-глинистой форме. Принимаем, что теплофизические характеристики формы и металла постоянны и одинаковы по всему объему, системы сосредоточенные, геометрическая ось совпадает тепловой и поэтому можно рассматривать только половину отливки. Lo<<Lф - форма массивная, т.е. форма за все время охлаждения не прогревается до конца, Тпов=Тнач; такая форма называется бесконечной

Вектор плотности теплового потока (удельный тепловой поток) имеет направление перпендикулярное к поверхности раздела отливка-форма в любой момент времени tk;

Нестационарное температурное поле – одномерное, Тj(х, tk), j=1,2,4;

Температура затвердевания принимается постоянной, равной Ts;

Теплофизические характеристики сред, aj=lj/cjrj, j=1,2,4;

Теплоаккумулирующую способность формы примем постоянной, bф==const;

C,l,r - теплофизические характеристики формы;

Переохлаждение не учитываем;

Удельная теплота кристаллизации L(Дж/кг) выделяется только на фронте затвердевания (nf) - условие Стефана;

Не учитывается диффузия химических элементов – квазиравновесное условие;

Перенос тепла за счет теплопроводности и конвекции учитывается введением коэффициента эффективной электропроводности:

для жидкой среды l2=n*l0, где l0 – теплопроводность неподвижного жидкого металла; n=10;

Не учитывается усадка металла при переходе из жидкого состояния в твердое;

Передача тепла в жидком и твердом металле происходит за счет теплопроводности и описывается законом Фурье:

q = - ljgradT, плотность теплового потока,Дж/(м2с);

Отливка и форма имеют плотный контакт в период всего процесса затвердевания (что реально для ПГФ);

теплоотдача на границе отливка – форма  подчиняется закону Ньютона(-Рихтмона): q1(tk)=a(T1к - Tф) – для каждого момента времени tк, где a - коэффициент теплоотдачи, для установившегося режима (автомодельного) a=;

Полученная таким образом содержательная модель и ее графическая интерпретация затвердевания плоской отливки в объемной массивной форме, упрощает формулировку математической модели и достаточно хорошо отражает затвердевание на тепловом уровне, т.е. позволяет получить закон T=f(x;t).

2.  Математическая формулировка задачи

Математическая модель формулируется в виде краевой задачи, которая включает следующие положения:

а) Математическое выражение уравнения распределения теплоты в изучаемых средах.

Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье, которое имеет смысл связи, между временным изменением температуры и ее пространственным распределением:

Или в соответствии с условием 5 запишем:

  ; xÌ[0,lo], j=                                                      (1)

б) Условия однозначности:

1. Теплофизические характеристики сред

rj, lj, cj, bj, aj, TL, TS

2. Начальные условия

2.1 Считаем, что заливка происходит мгновенно и мгновенно же образуется тончайшая корка твердого металла.

T1н(x, tн)= TS(E)                                                                                             (2)

2.2 Положение фронта затвердевания

t=tнзадан. ,x=0, y(tн)=0                                                                                (3)

2.3 Температура металла в отливке

Tj,iн=Tн ; j=2, iÌ(2,n)                                                                                (4)

2.4 Температура на внешней поверхности формы (контакт форма - атмосфера) и температура формы.

T4н=Tф                                                                                                                                                                          (5)

3. Граничные условия

3.1 Условия сопряжения на фронте затвердевания (условия Стефана) i=nf

                                                                (6)

3.2 Температура на фронте затвердевания

                                                                      (7)

3.3 Условие теплоотдачи на границе отливка-форма

                                             (8)

 - граничное условие третьего рода

3.4 Условие на оси симметрии

                                                                                   (9)

Задача, сформулированная в выражениях (1-9) есть краевая задача, которая решается численным методом.

Аппроксимировав на сетке методом конечных разностей (МКР), получим дискретное сеточное решение.

Ti=f(xi;tk).

Будем использовать МКР – метод конечных разностей.

Сформулированную краевую задачу дискретизируем на сетке.

= - шаг по пространству постоянный; - шаг по времени переменный

Для аппроксимации задачи на выбранной сетке можно использовать разные методы – шаблоны. Наиболее известные из них для данного типа задач четырех точечный конечно разностный шаблон явный и неявный.

Явный четырех точечный шаблон            Неявный четырех точечный шаблон

Использование явного шаблона для каждого временного шага получаем n+1 уравнение с n неизвестными и система решается методом Гауса, но сходимость решения только при очень малых шагах.

Использование неявного шаблона обеспечивает абсолютную сходимость, но каждое из уравнений имеет 3 неизвестных, обычным методом  их решить невозможно.

По явному:

                                                                     (10)

По неявному:

                                                                  (11)

Сходимость обеспечивается при:

при явном шаблоне                                                                (12)

-точность аппроксимации

                                                      (13)

Аппроксимируем задачу 1-9 на четырех точечном неявном шаблоне

Начальные условия:

                                              (14)

                                                                                      (15)

                                                                             (16)

                                                                         (17)

                                                                                             (18)

Граничные условия:

                                                  (19)

                                                                          (20)

                                                                                            (21 a)

=>                                                                             (21)

Условие идеального контакта на границе отливка форма

                                                                                       (22)

Расчет временного шага :

Величина -var  рассчитывается из условия, что за промежуток времени  фронт перейдет из точки nf в точку nf+1

Расчет ведут итерационными (пошаговыми) методами

Строим процедуру расчета следующим образом:

Вычисляем нулевое приближенное для каждого шага,

За шаг итерации примем S,

Нулевое приближение S=0.

                                                                                             (23)

Уточняем шаг: S+1

             (24)

d – параметр итерации от 0 до 1

для расчета возьмем d=0.

Число S итераций определяется заданной точностью:

Временного шага                                                             (25)

И по температуре                                                      (26)

et  и eT – заданные точности по времени и температуре

et=0,01c,   eT=0,1°C

DtI=0,01c – время за которое образовалась корочка.

Описанный итерационный процесс называют ''Ловлей фазового фронта в узел''.

Можно задать Dх, DtK=const, тогда неизвестно будет положение фронта, при помощи линейной интерполяции.

Расчет температурных полей:

Метод «прогонки»:

Считается наиболее эффективным для неявно заданных конечно-разностных задач.

Суть метода:

Запишем в общем виде неявно заданное конечноразностное уравнение второго порядка (14) в общем виде:

AiTi-1 – BiTi + CiTi+1 + Di = 0 ; i = 2, 3, 4, …n-1                                       (27)

действительно для всех j и k.

и краевые условия для него:         

T1 = p2T2 + q2                                                                                                                                                       (28 а)

Tn = pnTm-1 + qn                                                                                                                                                   (28 б)

Ti = f(Ai; Xi; tk)   - сеточное решение.

Ai, Bi, Ci, Di – известные коэффициенты, определенные их условий однозначности и дискретизации задачи.

Решение уравнения (27) – ищем в том же виде, в котором задано краевое условие (28 а)

Ti = аi+1Ti+1 + bi+1 ; i = 2, 3, 4, …n-1                                                                                                              (29)

Ai+1, bi+1 – пока не определенные «прогоночные» коэффициенты (или коэффициенты разностной факторизации)

Запишем уравнение (29) с шагом назад:

Ti-1 = аiTi + bi                                                                                                                                                        (30)

Подставим уравнение (30) в уравнение (27):

Ai(aiTi + bi) – BiTi + CiTi+1 + Di = 0

Решение нужно получить в виде (29):

                                                                           (31)

Найдем метод расчета прогоночных коэффициентов.

Сравним уравнение (29) и (31):

                                                                                           (32)

                                                                                             (33)

(32),(33)– рекуррентные прогоночные отношения позволяющие вычислить прогоночные коэффициенты точке  (i+1) если известны их значения в точке i.

Процедура определения коэффициентов аi+1 и bi+1 называется прямой прогонкой или прогонкой вперед.

Зная коэффициенты конечных точек и температуру в конечной точке Тi+1 можно вычислить все Тi.

Процедура расчета температур называется обратной прогонкой. То есть, чтобы вычислить все Т поля для любого tk нужно вычислить процедуры прямой и обратной прогонки.

Чтобы определить начальные а2и b2, сравним уравнение (29) и уравнение (28 а):

a2 = p2;  b2 = q2

Запишем уравнение 29 с шагом назад:

Tn = pnTn-1 + qn

Tn-1 = qnTn + bn      

                                                                                          (34)

Новая задача определить pn , qn

Вывод расчетных формул:

Преобразуем конечноразностное уравнение (14) в виде (27)

, j=1,2                                       (35)

относиться к моменту времени k

Из (35) => Ai=Ci= Bi=2Ai+ Di=                                          (36)

Определим значения коэффициентов для граничных условий:

на границе раздела отливка-форма

                                                                                         (37)

приведем это выражение к виду (28 а)

 отсюда                                                                              (38)

b2=q2= a2=p2=1                                                                                    (39)

на границе раздела Meтв - Меж

из (29), Tnf=Tn=> anf+1=0, bnf+1=Ts                                                           (40)

условие на оси симметрии

Tn-1=Tn в соответствии с (21)

pn=1, qn=0                                                                                                (41)

подставив (41) в (34) получим

                                                                                                  (42)

1)   Определить теплофизические характеристики сред, участвующих в тепловом взаимодействии λ1, λ2, ρ1, ρ2, L, а1, а2, Тs, Тн, Тф.

2)   Определить размеры отливки, параметры дискретизации и точность расчета

2l0=30 мм, l0=R=15 мм=0,015 м

n=100,

первый шаг по времени: Δt1=0,01 с, t=t+Δt

еt=0,01 с, et=0,1 оC

3)   Принять, что на первом временном шаге к=1, t1=Δt1, nf=1, Т1=Т3, Тi=Тн, , i=2,…,n, Т4=Тф

4)   Величина плотности теплового потока на границе раздела отливка – форма

                                                                       (43)

, s=0, (нулевое приближение)

к=2,                                                                     (44)

5)   Найти нулевое приближение Δtк, 0 на к-том шаге

переход  nf → i → i+1 по формуле (23)

6)   Найти коэффициенты Ai, Сi, Вi, Di по соответствующим формулам для сред Метв. и Меж. В нулевом приближении при s=0

7)   Рассчитать прогоночные коэффициенты ai+1, bi+1 для Метв. и Меж., s=0 с учетом что Тnf=Тз.

Т1=р2Т2+g2

Тi=а2Т2+в2

Найти а2 и в2:

а2=1,                                                           (45)

                                                                            (46)

8)   Рассчитать температуру на оси симметрии

                                                                                   (47)

9)   Рассчитать температурное поле жидкого и твердого металла

                                                                              (48)

10)    Пересчитать значения ∆tк по итерационному процессу (24)

d – параметр итерации (d=0…1)

проверяем точность;

11)    Скорость охлаждения в каждом узле i рассчитать по формуле:

, оС/с                                                                         (50)

12)    Скорость затвердевания на каждом временном шаге:

, м/с                                                                                    (51)

13)    Средняя скорость охлаждения на оси отливки:

14)    Положение фронта затвердевания по отношению к поверхности отливки

, к – шаг по времени                                                (52)

15)    Полное время затвердевания

, к′ - последний шаг                                                   (53)

16)    Средняя скорость затвердевания отливки

                                                                                             (54)

Страницы: 1, 2