Реферат: Нахождение кратчайшего пути

Сначала представим алгоритм для общего случая, в котором предполагается только отсутствие контуров с отрицательной длиной. С эти алгоритмом обычно связывают имена Л.Р. Форда и Р.Е. Беллмана.

3.1. Язык программирования Delphi.

Delphi - язык и среда программирования, относящаяся к классу RAD- (Rapid Application Development ‑ «Средство быстрой разработки приложений») средств CASE - технологии. Delphi сделала разработку мощных приложений Windows быстрым процессом, доставляющим вам удовольствие. Приложения Windows, для создания которых требовалось большое количество человеческих усилий например в С++, теперь могут быть написаны одним человеком, использующим Delphi.

Интерфейс Windows обеспечивает полное перенесение CASE-технологий в интегрированную систему поддержки работ по созданию прикладной системы на всех фазах жизненного цикла работы и проектирования системы.

Delphi обладает широким набором возможностей, начиная от проектировщика форм и кончая поддержкой всех форматов популярных баз данных. Среда устраняет необходимость программировать такие компоненты Windows общего назначения, как метки, пиктограммы и даже диалоговые панели. Работая в Windows , вы неоднократно видели одинаковые «объекты» во многих разнообразных приложениях. Диалоговые панели (например Choose File и Save File) являются примерами многократно используемых компонентов, встроенных непосредственно в Delphi, который позволяет приспособить эти компоненты к имеющийся задаче, чтобы они работали именно так, как требуется создаваемому приложению. Также здесь имеются предварительно определенные визуальные и не визуальные объекты, включая кнопки, объекты с данными, меню и уже построенные диалоговые панели. С помощью этих объектов можно, например, обеспечить ввод данных просто несколькими нажатиями кнопок мыши, не прибегая к программированию. Это наглядная реализация применений CASE-технологий в современном программировании приложений. Та часть, которая непосредственно связана с программированием интерфейса пользователя системой получила название визуальное программирование

Визуальное программирование как бы добавляет новое измерение при создании создании приложений, давая возможность изображать эти объекты на экране монитора до выполнения самой программы. Без визуального программирования процесс отображения требует написания фрагмента кода, создающего и настающего объект «по месту». Увидеть закодированные объекты было возможно только в ходе исполнения программы. При таком подходе достижение того, чтобы объекты выглядели и вели себя заданным образом, становится утомительным процессом, который требует неоднократных исправлений программного кода с последующей прогонкой программы и наблюдения за тем, что в итоге получилось.

Благодаря средствам визуальной разработки можно работать с объектами, держа их перед глазами и получая результаты практически сразу. Способность видеть объекты такими, какими они появляются в ходе исполнения программы, снимает необходимость проведения множества операций вручную, что характерно для работы в среде не обладающей визуальными средствами — вне зависимости от того, является она объектно-ориентированной или нет. После того, как объект помещен в форму среды визуального программирования, все его атрибуты сразу отображаются в виде кода, который соответствует объекту как единице, исполняемой в ходе работы программы.

Размещение объектов в Delphi связано с более тесными отношениями между объектами и реальным программным кодом. Объекты помещаются в вашу форму, при этом код, отвечающий объектам, автоматически записывается в исходный файл. Этот код компилируется, обеспечивая существенно более высокую производительность, чем визуальная среда, которая интерпретирует информацию лишь в ходе исполнения программы.

3.2. Программа «Определение кратчайшего пути в графе»

Программа «Определение кратчайшего пути в графе» разработана в среде «Delphi», работает под ОС «Windows»-95,98,2000,NT.

Программа позволяет вводить, редактировать, сохранять графы в файл, загружать из файла. Также реализован алгоритм нахождения кратчайшего пути.

Интерфейс программы имеет следующий вид:

Верхняя панель кнопок предназначена для редактирования графа.

Кнопка «Загрузить»  предназначена для загрузки ранее сохраненного графа из файла.

Кнопка «Сохранить»  предназначена для сохранения графа в файл.

Кнопка «Переместить»  предназначена для перемещения вершин графа.

Кнопка «Удалить»  предназначена для удаления вершин графа.

При нажатии на кнопку «Новый»  рабочее поле программы будет очищено и появится возможность ввода нового графа.

Кнопка «Помощь»  вызывает помощь программы.

Для очистки результатов работы алгоритма определения кратчайшего пути в графе необходимо нажать кнопку «Обновить» .

При нажатии на кнопку «Настройки»  на экране появится окно, в котором можно настроить параметры сетки рабочего поля программы и цвета вводимого графа.

Окно настроек выглядит следующим образом:

Нижняя панель кнопок предназначена для установки параметров ввода и запуска алгоритма определения кратчайшего пути в графе. Данная панель состоит из четырех кнопок:

При включенной кнопке «Показывать сетку»  отображается сетка для удобства ввода вершин.

Для автоматического ввода длины ребра графа необходимо нажать кнопку .

При включенной кнопке «Выравнивать по сетке»  новые вершины будут автоматически выравниваться по координатной сетке.

Если выбрать две различные вершины (щелчком левой кнопки мыши) и нажать на кнопку , то программа найдет кратчайший путь между вершинами.

Алгоритм определения кратчайшего пути между вершинами графа описан следующим модулем программы:

unit MinLength;

interface

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Dialogs,

  StdCtrls,IO,Data,AbstractAlgorithmUnit;

type

  TMinLength = class(TAbstractAlgorithm)

  private

     StartPoint:integer;

     EndPoint:integer;

     First:Boolean;

     Lymbda:array of integer;

     function Proverka:Boolean;

  public

     procedure Make;

  end;

var

  MyMinLength: TMinLength;

implementation

uses MainUnit, Setting;

procedure TMinLength.Make;

         var i ,j  : integer;

            PathPlace,TempPoint:Integer;

            flag:boolean;

         begin

           with MyData do begin

     StartPoint:=MyIO.FirstPoint;

     EndPoint:=MyIO.LastPoint;

                     SetLength(Lymbda,Dimension+1);

            SetLength(Path,Dimension+1);

           for i:=1 to Dimension do

              Lymbda[i]:=100000;

           Lymbda[StartPoint]:=0;

           repeat

             for i:=1 to Dimension do

                for j:=1 to Dimension do

                   if Matrix[i,j]=1 then

                     if  ( ( Lymbda[j]-Lymbda[i] ) > MatrixLength[j,i] )

                       then Lymbda[j]:=Lymbda[i] + MatrixLength[j,i];

           until Proverka ;

           Path[1]:= EndPoint ;

           j:=1;

           PathPlace:=2;

           repeat

             TempPoint:=1;

             Flag:=False;

             repeat

               if ( Matrix[ Path[ PathPlace-1 ],TempPoint] =1  )and (

                  Lymbda[ Path[ PathPlace-1] ] =

                   ( Lymbda[TempPoint] + MatrixLength[ Path[PathPlace-1 ], TempPoint] ) )

                   then Flag:=True

                   else Inc( TempPoint );

             until Flag;

             Path[ PathPlace ]:=TempPoint;

             inc( PathPlace );

             MyIO.DrawPath(Path[ PathPlace-2 ],Path[ PathPlace -1],true);

 //            ShowMessage('f');

           until(Path[ PathPlace - 1 ] = StartPoint);

//           MyIO.DrawPath(Path[ PathPlace-1 ],Path[ PathPlace ],true);

           end;

         end;

function TMinLength.Proverka:Boolean;

         var i,j:integer;

             Flag:boolean;

         begin

           i:=1;

           Flag:=False;

           With MyData do begin

           repeat

             j:=1;

             repeat

               if Matrix[i,j]=1 then

               if ( Lymbda[j]-Lymbda[i] )>MatrixLength[j,i]then Flag:=True;

               inc(j);

             until(j>Dimension)or(Flag);

             inc(i);

           until(i>Dimension)or(Flag);

           Result:=not Flag;

           end;

         end;

end.

Рабочее поле программы предназначено для визуального ввода графов.

Рабочее поле с введенным графом выглядит следующим образом:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теория графов находит широкое применение в различных областях науки и техники:

Графы и информация

Двоичные деревья играют весьма важную роль в теории информации. Предположим, что определенное число сообщений требуется закодировать в виде конечных последовательностей различной длины, состоящих из нулей и единиц. Если вероятности кодовых слов заданы, то наилучшим считается код, в котором средняя длина слов минимальна по сравнению с прочими распределениями вероятности. Задачу о построении такого оптимального кода позволяет решить алгоритм Хаффмана.

Двоичные кодовые деревья допускают интерпретацию в рамках теории поиска. Каждой вершине при этом сопоставляется вопрос, ответить на который можно либо "да", либо "нет". Утвердительному и отрицательному ответу соответствуют два ребра, выходящие из вершины. "Опрос" завершается, когда удается установить то, что требовалось.

Таким образом, если кому-то понадобится взять интервью у различных людей, и ответ на очередной вопрос будет зависеть от заранее неизвестного ответа на предыдущий вопрос, то план такого интервью можно представить в виде двоичного дерева.

Графы и химия

Еще А. Кэли рассмотрел задачу о возможных структурах насыщенных (или предельных) углеводородов, молекулы которых задаются формулой:

CnH2n+2

Молекула каждого предельного углеводорода представляет собой дерево. Если удалить все атомы водорода, то оставшиеся атомы углеводорода также будут образовывать дерево, каждая вершина которого имеет степень не выше 4. Следовательно, число возможных структур  предельных углеводородов, т. е. число гомологов данного вещества, равно числу деревьев с вершинами степени не больше четырех.

Таким образом, подсчет числа гомологов предельных углеводородов также приводит к задаче о перечислении деревьев определенного типа. Эту задачу и ее обобщения рассмотрел Д. Пойа.

Графы и биология

Деревья играют большую роль в биологической теории ветвящихся процессов. Для простоты мы рассмотрим только одну разновидность ветвящихся процессов – размножение бактерий. Предположим, что через определенный промежуток времени каждая бактерия либо делится на две новые, либо погибает. Тогда для потомства одной бактерии мы получим двоичное дерево.

Нас будет интересовать лишь один вопрос: в скольких случаях n-е поколение одной бактерии насчитывает ровно k потомков? Рекуррентное соотношение, обозначающее число необходимых случаев, известно в биологии под названием процесса Гальтона-Ватсона. Его можно рассматривать как частный случай многих общих формул.

Графы и физика

Еще недавно одной из наиболее сложных и утомительных задач для радиолюбителей было конструирование печатных схем.

Печатной схемой называют пластинку из какого-либо диэлектрика (изолирующего материала), на которой в виде металлических полосок вытравлены дорожки. Пересекаться дорожки могут только в определенных точках, куда устанавливаются необходимые элементы (диоды, триоды, резисторы и другие), их пересечение в других местах вызовет замыкание электрической цепи.

В ходе решения этой задачи необходимо вычертить плоский граф, с вершинами в указанных точках.

Итак, из всего вышесказанного неопровержимо следует практическая ценность теории графов.

1.   Белов Теория Графов, Москва, «Наука»,1968.

2.   Новые педагогические и информационные технологии Е.С.Полат, Москва, «Akademia» 1999 г.

3.   Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. – М.: Энергоатомиздат, 1988.

4.   Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990.

5.   Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. – М.: Издательство МАИ, 1992.

6.   Оре О. Теория графов. – М.: Наука, 1980.

7.   Исмагилов Р.С., Калинкин А.В. Матеpиалы к пpактическим занятиям по куpсу: Дискpетная математика по теме: Алгоpитмы на гpафах. - М.: МГТУ, 1995

8.   Смольяков Э.Р. Введение в теоpию гpафов. М.: МГТУ, 1992

9.   Hечепуpенко М.И. Алгоpитмы и пpогpаммы pешения задач на гpафах и сетях. - Hовосибиpск: Hаука, 1990

10.       Романовский И.В. Алгоpитмы pешения экстpемальных задач. - М.: Hаука, 1977

11.       Писсанецки С. Технология разреженных матриц. - М.: Мир, 1988

12.       Севастьянов Б.А. Вероятностные модели. - М.: Наука, 1992

13.       Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. - М.: Изд-во РУДН, 1994

Текст программы определения кратчайшего пути в графе

Модуль управления интерфейсом программы:

unit MainUnit;

interface

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,

   StdCtrls,PaintingGraph, ComCtrls, ToolWin, ImgList, Menus,

  ActnList, ExtCtrls;

const

  crMyCursor = 5;

type

  TForm1 = class(TForm)

    SaveDialog1: TSaveDialog;

    OpenDialog1: TOpenDialog;

    ImageList1: TImageList;

    ImageList2: TImageList;

    LoadMenu: TPopupMenu;

    ControlBar1: TControlBar;

    ToolBar3: TToolBar;

    OpenButton: TToolButton;

    SaveButton: TToolButton;

    ToolButton15: TToolButton;

    ClearButton: TToolButton;

    UpdateButton: TToolButton;

    HelpButton: TToolButton;

    ToolButton26: TToolButton;

    RemovePointButton: TToolButton;

    ToolButton28: TToolButton;

    ToolButton32: TToolButton;

    SettingButton: TToolButton;

    ControlBar2: TControlBar;

    AlgoritmToolBar: TToolBar;

    KommiTool: TToolButton;

    ToolButton: TToolButton;

    NotFarButton: TToolButton;

    MinLengthButton: TToolButton;

    ToolButton5: TToolButton;

    MovePointButton: TToolButton;

    ActionList1: TActionList;

    AShowGrig: TAction;

    ASnapToGrid: TAction;

    ASave: TAction;

    ALoad: TAction;

    ADelete: TAction;

    GridToolBar: TToolBar;

    Clock: TLabel;

    Timer1: TTimer;

    ShowGridButton: TToolButton;

    AutoLengthButton: TToolButton;

    SnapToGridButton: TToolButton;

    PaintBox1: TPaintBox;

    procedure FormMouseDown(Sender: TObject; Button: TMouseButton;

      Shift: TShiftState; X, Y: Integer);

    procedure FormCreate(Sender: TObject);

    procedure FormMouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

      Y: Integer);

    procedure FormPaint(Sender: TObject);

    procedure FormKeyDown(Sender: TObject; var Key: Word;

      Shift: TShiftState);

    procedure ClearButtonClick(Sender: TObject);

    procedure KommiToolButtonClick(Sender: TObject);

    procedure PaintingToolButtonClick(Sender: TObject);

    procedure SnapToGridButtonClick(Sender: TObject);

    procedure HelpButtonClick(Sender: TObject);

    procedure AutoLengthButtonClick(Sender: TObject);

    procedure SettingButtonClick(Sender: TObject);

    procedure NotFarButtonClick(Sender: TObject);

    procedure MinLengthButtonClick(Sender: TObject);

    procedure MovePointButtonClick(Sender: TObject);

    procedure RemovePointButtonClick(Sender: TObject);

    procedure Timer1Timer(Sender: TObject);

    procedure ALoadExecute(Sender: TObject);

    procedure AShowGrigExecute(Sender: TObject);

    procedure ASaveExecute(Sender: TObject);

    procedure PaintBox1Paint(Sender: TObject);

    procedure UpdateButtonClick(Sender: TObject);

    procedure EilerButtonClick(Sender: TObject);

    procedure ClockClick(Sender: TObject);

  private

    procedure MyPopupHandler(Sender: TObject);

    { Private declarations }

  public

    { Public declarations }

  end;

var

  Form1: TForm1;

implementation

uses IO,Data,Commercial,DrawingObject,Setting,NotFar,MinLength, Eiler,

  SplashScreen;

{$R *.DFM}

procedure TForm1.FormMouseDown(Sender: TObject; Button: TMouseButton;

  Shift: TShiftState; X, Y: Integer);

begin

if Button=mbLeft then  begin

  MyIO.FormMouseDown( X, Y);

  if (MyIO.State=msMove)then

      if MyIO.FirstPointActive then

         Cursor := crMyCursor

      else begin

         Repaint;

         Cursor := crDefault;

      end;  

    end

else

  MyIO.MakeLine(X, Y);

end;

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);

begin

Screen.Cursors[crMyCursor] := LoadCursor(HInstance, 'Shar');

MyIO:=TIO.Create(PaintBox1.Canvas);

MyData:=TData.Create;

MyDraw:=TDrawingObject.Create(PaintBox1.Canvas);

SaveDialog1.InitialDir:=ExtractFilePath(Application.ExeName)+'Grafs';

OpenDialog1.InitialDir:=ExtractFilePath(Application.ExeName)+'Grafs';

end;

procedure TForm1.FormMouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

  Y: Integer);

begin

MyIO.DrawLine(x,y);

end;

procedure TForm1.FormPaint(Sender: TObject);

begin

PaintBox1Paint(Sender);

end;

procedure TForm1.FormKeyDown(Sender: TObject; var Key: Word;

  Shift: TShiftState);

begin

if (Key=vk_Escape) then

  begin

  MyData.Remove(MyData.Dimension);

  MyDraw.Remove(MyData.Dimension);

  Repaint;

  end;

end;

procedure TForm1.MyPopupHandler(Sender: TObject);

var s:string;

begin

  with Sender as TMenuItem do begin

      s:=Caption;

      MyData.Load(s);

      System.Delete(s,length(s)-4,5);

      MyDraw.Load(s+'.pos');

  end;

Repaint;

end;

procedure TForm1.ClearButtonClick(Sender: TObject);

begin

MyData.Clear;

MyDraw.Clear;

Repaint;

end;

procedure TForm1.KommiToolButtonClick(Sender: TObject);

begin

 If MyData.Dimension<2 then Exit;

 MyCommercial:=TCommercial.Create;

 MyCommercial.Make;

 MyCommercial.Free;

end;

procedure TForm1.EilerButtonClick(Sender: TObject);

begin

 If MyData.Dimension<2 then Exit;

 EilerC:=TEiler.Create;

 EilerC.Make;

 EilerC.Free;

 MyIO.DrawAll;

 RePaint;

end;

procedure TForm1.PaintingToolButtonClick(Sender: TObject);

begin

 If MyData.Dimension<2 then Exit;

MyPaint:=TPaintingGraphClass.Create;

MyPaint.Make;

RePaint;

MyPaint.Free;

end;

procedure TForm1.SnapToGridButtonClick(Sender: TObject);

begin

MyIO.FSnapToGrid:=SnapToGridButton.Down;

end;

procedure TForm1.HelpButtonClick(Sender: TObject);

begin

Application.HelpContext(10);

end;

procedure TForm1.AutoLengthButtonClick(Sender: TObject);

begin

MyIo.AutoLength:=AutoLengthButton.Down;

end;

procedure TForm1.SettingButtonClick(Sender: TObject);

begin

  SettingForm.Show;

end;

procedure TForm1.NotFarButtonClick(Sender: TObject);

begin

If MyData.Dimension<2 then Exit;

MyNotFar:=TNotFar.Create;

MyNotFar.Make;

MyNotFar.Free;

end;

procedure TForm1.MinLengthButtonClick(Sender: TObject);

begin

If MyData.Dimension<2 then Exit;

MyMinLength:=TMinLength.Create;

MyMinLength.Make;

MyMinLength.Free;

end;

procedure TForm1.MovePointButtonClick(Sender: TObject);

begin

if MovePointButton.Down then MyIO.State:=msMove else

  MyIO.State:=msNewPoint;

if MovePointButton.Down=false then

  Cursor := crDefault;

end;

procedure TForm1.RemovePointButtonClick(Sender: TObject);

begin

if ReMovePointButton.Down then MyIO.State:=msDelete else

  MyIO.State:=msNewPoint;

  Repaint;

end;

procedure TForm1.Timer1Timer(Sender: TObject);

begin

  Clock.Caption:=TimeToStr(Time);

end;

procedure TForm1.ALoadExecute(Sender: TObject);

var s:string;

begin

  if OpenDialog1.Execute then

    try

      s:=OpenDialog1.Filename;

      MyData.Load(s);

      Delete(s,length(s)-4,5);

      MyDraw.Load(s+'.pos');

    finally

    end;

Repaint;

end;

procedure TForm1.AShowGrigExecute(Sender: TObject);

begin

MyIO.FDrawGrid:=ShowGridButton.Down ;

Repaint;

end;

procedure TForm1.ASaveExecute(Sender: TObject);

var s:string;

    m:TMenuItem;

begin

  if SaveDialog1.Execute then

    try

      s:=SaveDialog1.Filename;

      MyData.Save(s);

      Delete(s,length(s)-4,5);

      MyDraw.Save(s+'.Pos')

    finally

    end;

  m:=TMenuItem.Create(Self);

  m.Caption:=SaveDialog1.Filename;

  m.OnClick := MyPopUpHandler;

  LoadMenu.Items.Add(m);

end;

procedure TForm1.PaintBox1Paint(Sender: TObject);

begin

  MyIO.DrawCoordGrid(16,16,ClientWidth-30,ClientHeight-140);

MyIO.DrawAll;

end;

procedure TForm1.UpdateButtonClick(Sender: TObject);

begin

MyDraw.SetAllUnActive;

MyIO.DrawAll;

MyIO.FirstPointActive:=false;

end;

procedure TForm1.ClockClick(Sender: TObject);

begin

Splash.Show;

end;

end.

Модуль управления окном настроек:

unit Setting;

interface

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,

Страницы: 1, 2, 3, 4