Курсовая работа: Градиентный метод первого порядка

P12, P23 - эффекты двойного взаимодействия, а P123 - эффекты тройного взаимодействия. Эффекты взаимодействия определяют аналогично линейным эффектам:

.

7. Проверка однородности дисперсии и значимости коэффициентов регрессии.

Если дополнительно поставить параллельные опыты, можно определить s2воспр - дисперсию воспроизводимости, проверить значимость коэффициентов регрессии, а при наличии степеней свободы – адекватность уравнения.

В связи с тем, что корреляционная матрица (U*U)-1 для спланированного эксперимента есть матрица диагональная

,

коэффициенты уравнения регрессии некоррелированы между собой. Значимость коэффициентов уравнения регрессии можно проверять для каждого коэффициента в отдельности, пользуясь критерием Стьюдента : . Исключение из уравнения регрессии незначимого коэффициента не скажется на значениях остальных коэффициентов. При этом выборочные коэффициенты bj оказываются так называемыми несмешанными оценками для соответствующих генеральных коэффициентов βj:

bj βj, т. е. величины коэффициентов уравнения регрессии характеризуют вклад каждого фактора в величину y.

Диагональные элементы корреляционной матрицы равны между собой, поэтому все коэффициенты уравнений

Y =  и Y = Р0 + Р1U1 + Р2U2 + … + РnUn + … +

+ … +  

oпределяются с одинаковой точностью:

s bj= s2воспр

8. Проверка адекватности уравнения

Проверка адекватности уравнения проводится по критерию Фишера:

Рассчитывается значение

F= s2ост/ s2воспр ; s2ост ,

где m - число значимых коэффициентов в уравнении регрессии.

2.  После проведения полного факторного эксперимента определены коэффициенты регрессии

Тогда частные производные будут пропорциональны .

3.  Делая, с учетом последнего выражения, шаг в сторону, противоположную среднему, определяем новую точку  и опять проводим эксперимент.

4.  Повторяем первые три шага, пока не приблизимся к точке экстремума. При приближении к точке экстремума алгоритм начинает работать плохо при близости к нулю частных производных, то есть линейная модель становится неадекватной и требует введения квадратичных членов.

По условию дано:

, T = 20, U(t) = 15 – 0.1t, .

Уравнение выхода системы:

, , .

Значение параметров системы:

, .

Характер помехи и ее статистические параметры:

Нормальное распределение

.

Здесь - вектор состояния системы; - вектор наблюдения; - вектор помехи; А, В, С – матрицы коэффициентов (параметров) системы; [0, T] – интервал определения системы.

Необходимо

- составить в соответствии с математическим ожиданием системы ее имитационную модель для формирования реализации вектора и состояния системы на интервале определения;

- составить алгоритм и программу решения задачи построения динамической модели в соответствии с заданным типом модели методом идентификации и точностью решения задачи;

- отладить программу;

- провести расчеты и анализ полученных результатов.

Построение математической модели

Учитывая характер помехи можно составить следующую имитационную модель системы для формирования реализации вектора и состояния системы на интервале определения:

,

, ; .

Здесь - вектор состояния системы; - вектор состояния модели;  - матрицы коэффициентов модели.

, T = 20, U(t) = 15 – 0.1t, .

Здесь [0, T] – интервал определения системы.

Уравнение выхода системы:

, , .

Здесь - вектор наблюдения; - вектор помехи; С – матрица коэффициентов (параметров) системы.

Значение параметров системы:

, .

Здесь А, В – матрицы коэффициентов (параметров) системы.

Характер помехи и ее статистические параметры:

Помеха имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным .

Алгоритм реализации решения задачи построения динамической модели

Идея построения требуемой динамической системы состоит в следующем: для заданного значения параметра t с его интервала определения градиентным методом первого порядка находим соответствующее значение параметра x, который изменяется динамически. Поэтому необходимо в каждый момент ti найти оптимальное соответствующее значение фактора х и функции отклика у, которые наиболее близко описывали бы исходную систему. Помеха имеет нормальное распределение, поэтому включаем ее в функцию отклика таким образом, как показано в выше предложенных формулах.

Для поиска решения необходимо рассчитать оптимальный шаг .

Это делается по выше указанной формуле ( 6 ) – поиск шага варьирования. Именно так и реализуем в программном решении данной задачи.

Для поиска оптимального решения используем матрицы коэффициентов модели , с помощью которых определяем соответствующее значение функции отклика. Все выше сказанное реализовано в предлагаемой программе, в которой реализовано решение задачи построения динамической модели в соответствии с заданным типом модели методом идентификации и точностью решения задачи. Программа отлажена на упрощенных тестовых примерах с использованием информации, полученной от имитационной тестовой модели.

Проведен анализ полученных результатов, что также отражено в предложенной программе.

Апробирование машинной программы

Как было отмечено ранее, в данной программе кроме ручного ввода исходных значений факторов Х (т. е. задание так называемой «нулевой точки») существует задание количества факторов и количества опытов, как по умолчанию, так и непосредственно пользователем.

Программа исследований программного эксперимента:

Решает задачу оптимизации поверхности отклика. В начале работы требуется задать значения функции отклика Y, для которых и будет найдены соответствующие значения факторов X, при которых функция отклика принимает максимальное значение.

1.Задаем количество факторов и экспериментов

Получаем значения факторов в натуральном масштабе, заполняем матрицу планирования.

2.Производим кодирование в безразмерной системе координат, для каждого фактора определяются нулевые уровни и интервалы варьирования. Они будут использованы для определения градиента в данной точке.

3.Получаем значения коэффициентов регрессии.

4.Считаем выборочные дисперсии, и если они однородны, выводим значение дисперсии воспроизводимости

5.Проверяем на значимость коэффициенты регрессии.

В данном случае все коэффициенты значимы.

6. Получаем информацию о том, описывает ли уравнение эксперимент адекватно.

7. Делаем шаг в сторону, противоположную градиенту и находим новую точку (набор факторов).

8. Для нового набора переходим к шагу 2. Выполняем указанные действия до тех пор, пока не приблизимся к точке экстремума, на что указывает убыль последующих значений функции отклика.

Результаты работы программы

Матрица значений функции отклика системы:

.

Матрица помех:

.

Найденные значения факторов, про которых функция отклика принимает максимальное значение:

Вывод

В данном курсовом проекте рассматривался градиентный метод первого порядка, в качестве ядра которого использовался полный факторный эксперимент первого порядка, что предполагает такое проведение исследований, которое позволяет некоторым оптимальным образом получить информацию об объекте, оформить её в виде полиномиальной линейной модели и провести её статистический анализ. Так же в работе был составлен алгоритм моделирования , на основе которого была написана программа для проведения исследований градиентным методом.

Список литературы

1.  Ю.П. Зайченко. Исследование операций. “Вища школа”. Киев 1988.

2.  А.Г. Бондарь, Г.А. Статюха, Т. В. Землянкин , И.А. Потяженко. Планирование эксперимента при оптимизации процессов химической технологии. “Вища школа”. Киев 1980.

3.  В.В. Кафаров. Методы кибернетики в химии и химической технологии. Москва. «Химия». 1985.

4.  А.В. Бондаренко, Г.А. Статюха. Планирование эксперимента в химической технологии. “Вища школа”. Киев 1976.

5. А. Кофман, Р. Крюон “Массовое обслуживание. Теория и приложения”.

6. Е.С. Венцель “Исследование операций”.

Листинг программы

unit MainUnit;

interface

uses Windows,Classes,Graphics,SysUtils,StdCtrls,Math,Grids, ListControl,

Forms;

type

SelType = (stNONE,stPOINT,stCON); // Тип текущего элемента

PPoint = ^TPoint;

TPoint = record

UIN : integer;

Value : integer;

X,Y : integer;

end;

PConnection = ^TConnection;

TConnection = record

toPoint : PPoint;

fromPoint : PPoint;

Value : integer;

end;

CurElement = record

ceType : SelType;

element : pointer;

end;

TGraph = class

private

WasChanged : boolean;

ChangedAfter : boolean;

PointRadius : integer;

MaxUIN : integer;

Points : TList;

Connections : TList;

Selected,Current : CurElement;

function CheckCicle(FP,TP:PPoint):boolean;

function MouseOverPoint(X,Y:integer):PPoint;

function MouseOverConnection(X,Y:integer):PConnection;

procedure

DrawConnections(C:TCanvas;minW,minH,maxW,maxH:integer);

procedure DrawPoints(C:TCanvas;minW,minH,maxW,maxH:integer);

procedure Clear;

public

constructor Create;

destructor Destroy;override;

function MouseOver(X,Y:integer):CurElement;

function DeleteSelected:boolean;

procedure DrawGraph(C:TCanvas;minW,minH,maxW,maxH:integer);

procedure AddPoint(X,Y:integer;Value:integer);

function AddConnection(fromPoint,toPoint:PPoint;Value:integer):boolean;

procedure ChangeCur(dX,dY:integer);

procedure

ChangeCurAndDrawContur(X,Y,GridDelta:integer;C:TCanvas;DrawFirst,D

rawSecond:boolean);

procedure GetDeltaOfCurrent(X,Y:integer;var dX,dY:integer);

procedure SaveToFile(filename:string);

procedure OpenFromFile(filename:string);

procedure SelectCurrent;

procedure DeselectCurrent;

procedure MoveOnTop;

function IsChanged:boolean;

function WasChangedAfter:boolean;

function GetPoints:TList;

function GetConnections:TList;

function GetPointByID(ID:integer):PPoint;

procedure ZoomOn(coef:extended);

procedure ZoomOff(coef:extended);

procedure ChangeValue(Elem:CurElement;Value:integer);

function GetConsCount:integer;

function GetPointsCount:integer;

end;

PProcCon = ^TProcCon;

PProcPoint = ^TProcPoint;

TProcCon = record

Value : integer;

toPoint : PProcPoint;

Next : PProcCon;

end;

TProcPoint = record

UIN : integer;

Value : integer;

Merged : boolean;

UBorder,DBorder : integer;

UCon,DCon : integer;

UFixed,DFixed : boolean;

Prev,Next : PProcCon;

end;

PWay = ^TWay;

TWay = record

Numbers : string;

Length : integer;

Weight : integer;

Current : PProcPoint;

end;

PLinkTask = ^TLinkTask;

PProcTask = ^TProcTask;

PHolder = ^THolder;

THolder = record

Task : PProcTask;

Link : PLinkTask;

Next : PHolder;

end;

TProcTask = record

UIN : integer;

ProcNum : integer;

StartTime : integer;

Length : integer;

Prev : PHolder;

MayBeBefore : boolean;

MayBeAfter : boolean;

Ready : integer;

end;

TLinkTask = record

fromUIN : integer;

toUIN : integer;

fromProc : integer;

toProc : integer;

fromTask : PProcTask;

toTask : PProcTask;

StartTime : integer;

Length : integer;

PrevLink : PLinkTask;

PrevTask : PProcTask;

end;

PPossibleMove = ^TPossibleMove;

TPossibleMove = record

UIN : integer;

processor : integer;

afterUIN : integer;

ProcCount,Time:integer;

CurrentState : boolean;

end;

TSubMerger = class

private

Selected : PProcTask;

MinProcNum:integer;

MaxProcNum:integer;

Points : TList;

Procs : TList;

Links : TList;

AllProcTasks : Tlist;

function GetProcPointByUIN(UIN:integer):PProcPoint;

function GetProcTaskByUIN(UIN:integer):PProcTask;

procedure Clear;

procedure ClearProcs(FreeElements:boolean);

procedure ClearLinks(FreeElements:boolean);

procedure FormLinkTasksAndSetTimes(NumOfProcs:integer);

// -- Optimization -- //

procedure ClearPossibleMoves(var List:TList);

function GetPossibleMoves(UIN:integer):TList;

function GetTime:integer;

function GetProcCount:integer;

procedure SaveBackUp(var List:Tlist);

procedure RestoreBackUp(var

List:Tlist;NOP:integer;ClearCurrent:boolean);

public

constructor Create;

procedure Init(GPoints,GConnections:TList);

procedure DoBazovoe;

procedure SelectTask(UIN:integer);

procedure DeselectTask;

procedure MoveSelectedAfter(ProcNum,UIN:integer);

procedure ShowSubMerging(SG:TStringGrid);

function IncNumOfProc:boolean;

function DecNumOfProc:boolean;

function OptimizeOneStep(L1,L2:TLabel):boolean;

procedure OptimizeAuto(Form:TForm;L1,L2:TLabel);

end;

// --- --- --- //

function MinInt(I1,I2:integer):integer;

function MaxInt(I1,I2:integer):integer;

procedure MinMaxInt(I1,I2:integer;Var Min,Max:integer);

implementation

// -- Native functions -- //

function MinInt(I1,I2:integer):integer;

begin

if I1<I2 then Result:=I1 else Result:=I2

end;

function MaxInt(I1,I2:integer):integer;

begin

if I1>I2 then Result:=I1 else Result:=I2

end;

procedure MinMaxInt(I1,I2:integer;Var Min,Max:integer);

begin

if I1<I2 then

begin

Min:=I1;

Max:=I2

end

else

begin

Min:=I2;

Max:=I1

end

end;

// -- Objects -- //

function TGraph.GetConsCount:integer;

begin

Result:=Connections.Count

end;

function TGraph.GetPointsCount:integer;

begin

Result:=Points.Count

end;

procedure TGraph.ZoomOn(coef:extended);

var PP:PPoint;

i:integer;

begin

for i:=0 to Points.Count-1 do

begin

PP:=Points[i];

PP.X:=round(PP.X*coef);

PP.Y:=round(PP.Y*coef);

end;

end;

procedure TGraph.ZoomOff(coef:extended);

var PP:PPoint;

i:integer;

begin

for i:=0 to Points.Count-1 do

begin

PP:=Points[i];

PP.X:=round(PP.X/coef);

PP.Y:=round(PP.Y/coef);

end;

end;

constructor TGraph.Create;

begin

inherited Create;

MaxUIN:=0;

Points:=TList.Create;

Connections:=TList.Create;

Current.ceType := stNONE;

Current.element := nil;

Selected.ceType := stNONE;

Selected.element := nil;

PointRadius := 15;

WasChanged := false;

ChangedAfter := false;

end;

destructor TGraph.Destroy;

begin

Clear;

Points.Destroy;

Connections.Destroy;

inherited Destroy

end;

procedure TGraph.Clear;

begin

while Points.Count<>0 do

begin

dispose(PPoint(Points.first));

Points.delete(0);

end;

while Connections.Count<>0 do

begin

dispose(PConnection(Connections.first));

Connections.delete(0);

end;

MaxUIN:=0;

Current.ceType := stNONE;

Current.element := nil;

Selected.ceType := stNONE;

Selected.element := nil;

end;

function TGraph.DeleteSelected:boolean;

var i:integer;

PP:PPoint;

PC:PConnection;

begin

if Selected.ceType = stNONE

then Result:=false

else

begin

WasChanged:=true;

ChangedAfter:=true;

Result:=true;

if Selected.ceType = stCON then

begin

PC:=Selected.element;

for i:=0 to Connections.Count-1 do

begin

if Connections[i] = PC then

begin

Connections.delete(i);

break

end;

end;

dispose(PC);

end

else

begin

PP:=Selected.element;

for i:=0 to Points.Count-1 do

begin

if Points[i] = PP then

begin

Points.delete(i);

break

end;

end;

i:=0;

while i<Connections.Count do

begin

PC:=Connections[i];

if(PC.toPoint=PP)or(PC.fromPoint=PP)then

begin

Connections.delete(i);

dispose(PC)

end

else

i:=i+1

end;

dispose(PP)

end;

Selected.ceType:=stNONE;

Selected.element:=nil

end;

end;

procedure TGraph.MoveOnTop;

var PP:PPoint;

num:integer;

begin

if Current.ceType = stPoint then

begin

WasChanged:=true;

// ChangedAfter:=true;

PP:=Current.element;

num:=0;

while num<Points.count do

begin

if Points[num]=PP then break;

num:=num+1

end;

Points.delete(num);

Points.add(PP)

end;

end;

procedure TGraph.SelectCurrent;

begin

Selected:=Current

end;

procedure TGraph.DeselectCurrent;

begin

Selected.ceType:=stNONE;

Selected.element:=nil

end;

function TGraph.MouseOverPoint(X,Y:integer):PPoint;

var PP:PPoint;

d,i:integer;

begin

Result:=nil;

for i:=Points.Count-1 downto 0 do

begin

PP:=Points[i];

d := round(sqrt((X-PP.X)*(X-PP.X)+(Y-PP.Y)*(Y-PP.Y)));

if d<=15 then

begin

Result:=Points[i];

break

end;

end;

end;

function TGraph.MouseOverConnection(X,Y:integer):PConnection;

var PC:PConnection;

i:integer;

TX,TY,FX,FY,d:integer;

begin

Result:=nil;

for i:=Connections.Count-1 downto 0 do

begin

PC:=Connections[i];

if MinInt(PC.fromPoint.X,PC.toPoint.X) = PC.fromPoint.X then

begin

FX:=PC.fromPoint.X;

FY:=PC.fromPoint.Y;

TX:=PC.toPoint.X;

TY:=PC.toPoint.Y

end

else

begin

FX:=PC.toPoint.X;

FY:=PC.toPoint.Y;

TX:=PC.fromPoint.X;

TY:=PC.fromPoint.Y

end;

if (X>=FX-5)and(X<=TX+5)then

begin

d := (TY-FY)*X + (FX-TX)*Y + TX*FY - FX*TY;

d := abs(round(d/sqrt((TY-FY)*(TY-FY)+(FX-TX)*(FX-TX))));

if d<=5 then

begin

Result:=Connections[i];

break

end

end

end

end;

function TGraph.MouseOver(X,Y:integer):CurElement;

begin

current.element:=MouseOverPoint(X,Y);

if current.element<>nil then current.ceType:=stPOINT

else

begin

current.element:=MouseOverConnection(X,Y);

if current.element<>nil then current.ceType:=stCON

else current.ceType:=stNONE

end;

Result:=current;

end;

procedure TGraph.GetDeltaOfCurrent(X,Y:integer;var dX,dY:integer);

var PP:PPoint;

begin

PP:=current.element;

if PP<>nil then

begin

dX:=X - PP.X;

dY:=Y - PP.Y

end

else

begin

dX:=0;

dY:=0

end;

end;

procedure TGraph.ChangeCur(dX,dY:integer);

var PP:PPoint;

begin

WasChanged:=true;

// ChangedAfter:=true;

PP:=current.element;

if PP<>nil then

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6