Курсовая работа: Разработка математической модели теплообменника смешения

Откуда с учетом условия (1.9) получим линеаризованное уравнение статической характеристики в виде.

 (1.11)

Рис 1.4.Теплоабменник смешения как объект регулирования температуры.

При нарушении равновесия между притоком и стоком тепла в смеситель за малый промежуток времени  поступает некоторое дополнительное количество тепла . В результате изменяется температура жидкости в смесителе и температура выходящего потока на величину . Величина теплового разбаланса определяется зависимостью

Где — дополнительное количество тепла, внесенное в смеситель первым потоком при изменении его температуры на ;

— дополнительное количество тепла, внесенное в смеситель вторым потоком при изменении его расхода на ;

— дополнительное количество тепла, вынесенное

из смесителя выходящим потоком при изменении температуры жидкости в смесителе на величину .

Учитывая условие (1.9), выражение для  можно упростить:

 (1.12)

Изменение температуры жидкости в смесителе, вызванное разбалансом , равно

 (1.13)

где V0 — рабочий объем смесителя (V0 = const).

Подставим значение  из (1.11) в (1.12) и после очевидных преобразований, переходя к пределу при , получим уравнение, описывающее динамическую характеристику данного объекта:

 (1.14)

Выведенное ранее уравнение статической характеристики (1.13) может быть получено из (1.13) при выполнения условия равновесия, т.е когда Для приведения уравнения (1.14) к безразмерной форме введем следующее обозначение:

Подставляя данные из таблицы 1.1 получим следующее:

 (1.15)

 (1.16)

 (1.17)

После подстановки их в уравнение (1.14) и проведения необходимых преобразований получим в оканчательном виде.

 (1.18)

 (1.19)

 (1.20)

Преобразуем в область Лапласа

2. Получение передаточных функций по заданным динамическим каналам объекта

Передаточные функции характеризуют изменение сигнала при прохождении через систему.

Отношение Лапласовых изображений выходной и входной величин системы при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией системы W(p)

 (2.1)

где xвх(p) и xвых(p) – изображение по Лапласу входной и выходной величин системы.

По передаточной функции системы W(p) и изображению ее входной величины можно найти изображение выходной величины

 (2.2)

При наличии одной входной и одной выходной величины система или звено имеют только один канал прохождения сигнала, а следовательно, и одну передаточную функцию. Если же система или звено имеют несколько каналов прохождения сигнала, что возможно при нескольких выходных и входных величинах, то прохождение сигнала в каждом канале характеризуется своей передаточной функцией[2].

Передаточные функции теплообменника могут быть найдены по его уравнению динамики, а также по структурной схеме (рис.2.1), составленной по равенствам (1.19).

Рисунок 2.1-Структурная схема теплообменника смешения.

Приведем без вывода передаточные функции теплообменника:

 (2.3)

по каналу

 (2.4)

по каналу  

 (2.5)

3. Получение математической модели объекта в виде переменных пространство состояний

Одной из распространенных форм математического описания линейных динамических систем являются уравнения следующего вида:

;            (3.1)

Это название связано с тем, что при uk = 0 достаточно задать начальное значение переменных xi, чтобы однозначно определить состояние системы xi(t), y1 для любого момента времени. Модель (3.1) содержит n дифференциальных уравнений 1-го порядка с k управляющими входными воздействиями, а также s алгебраических соотношений для связи выходных переменных системы y с переменными состояния x. Коэффициенты aij, bik, cli называют параметрами модели.

Уравнения (3.1) удобно представить в матричной форме

                     (3.2)

где X - вектор переменных состояния; U − вектор управляющих (входных) воздействий; Y - вектор выходов; A, B, C − матрицы параметров [2].

Модель (3.2), в сравнении с ранее рассмотренными моделями, формирует дополнительно n переменных внутреннего состояния системы, что увеличивает количество информации об объекте управления.

При этом начальные условия согласуют следующим образом:

                   (3.7)

Структурная схема объекта с учетом полученных передаточных функций:

Рисунок 3.1-Структурная схема объекта

Тогда вектор переменных состояния объекта в отклонениях от желаемых базовых значений примет вид:

На основе полученных дифференциальных уравнений запишем матрицы А, B и S.

Термин “дискретный” еще не сложился. Каждая система управления, в которой присутствует хотя бы один элемент, который не подчиняется непрерывному характеру изменения сигнала, может быть отнесен к классу дискретных систем. Для этих систем характерным является исчезновения сигнала информации хотя бы на небольшом интервале времени. Если эти интервалы устремить к нулю, то можно рассматривать систему как непрерывную. Дискретные системы более общие. В производстве часто технологические процессы непрерывные [2].

Пусть имеется на входе в дискретный элемент какой-то непрерывный сигнал. Введем период квантования. Заменяем реальное время на кванты т=к*Т к=0,1,…,. Если Т 0 тогда имеем непрерывную модель. В этом случае можно зафиксировать амплитуды. Кроме квантования по времени можно квантовать и по вертикали (амплитуде). При таком виде квантования цифры заносятся в виде “0” и “1”. В случае объединения этих квантований они называются дискретными.

Выделим случай, когда входной сигнал x(t) является элементарной функцией 1(t). Реакцию системы на воздействие 1(t) можно компактно:

,                                                 (5.1)

где W(D) называется операторной передаточной функцией или оператором. Формально W(D) можно рассматривать как дробно-рациональную функцию от оператора:

.                                                              (5.2)

Воспользуемся преобразованием Лапласа, основываясь на утверждении

,                              (5.3)

если f(0) = 0. Аналогично можно записать:

 (5.4)

     (5.5)

для любого операторного многочлена степени k, если f(t) и ее производные при t < 0, равны нулю.

Применяя правило (5.5), получим

,                                      (5.6)

где

При этом предполагается, что равны нулю y(0), x(0) и начальные значения производных y(t), x(t) вплоть до (n – 1)-й и (m – 1)-й соответственно. Теперь a(p), b(p) - обычные функции комплексной переменной p. Поэтому операция деления на a(p) имеет обычный смысл

.                                                         (5.7)

Учитывая определения (5.7), приходим к основной формуле

.                                                        (5.8)

Для осуществления z-преобразования и выбора периода квантования воспользуемся пакетом Matlab:

clc, clear

%Передаточная функция по 1-ому динамическому каналу

W1=tf([1.25],[5 1]);

%Передаточная функция по 2-ому динамическому каналу

W2=tf([0.924],[5 1])

%Формирование передаточной объекта

Wo=series(W1,W2)

T=0.5;

WWo=c2d(Wo,T,'zoh')

figure(1);

step(Wo,WWo)

grid on

Определяем погрешность квантования:

Погрешность квантования не превышает заданную (7%), значит выполняем переход от непрерывной модели к дискретной с периодом квантования 0.5.

Передаточная функция в z-области:

Программа перехода от непрерывной модели(модели в пространстве состояния ) к дискретной в пакете MATLAB

clc, clear

% задаем матрицы параметров

A=[-0.2 0;0 -0.2]

B=[0;0.1848]

F=[0.25;0]

C=[1 1]

D=[0]

BB=[B F]

% переход в область переменных состояний

sistema1=ss(A,BB,C,D)

% переход в дискретную область

sistema2=c2d(sistema1,0.5)

Wz=tf(sistema2)

Модель в пространстве состояний.

 a = x1 x2 x1 0.9048 0 x2 0 0.9048 b = u1 u2 x1 0 0.119 x2 0.08793 0

c = x1 x2 y1 1 1 d = u1 u2 y1 0

Передаточная функция в z-области по каналам.

1.По первому динамическому каналу.

Переходной характеристикой(переходной функцией) h(t) называется реакция системы на единичное ступенчатое входное воздействие u(t-τ)=1(t-τ) при нулевых начальных условиях. Единичная ступенчатая функция – это функция, которая обладает свойством

На рисунке 5.1 приведен пример переходной характеристики системы.

Рисунок 5.1-Пример переходной характеристики системы (τ – момент возникновения входного воздействия)

Для аналитического определения переходной функции следует решить дифференциальное уравнение при нулевых начальных условиях и единичном входном воздействии. При исследовании реального объекта переходную характеристику можно получить экспериментальным путем, подавая на его вход ступенчатое воздействие и фиксируя реакцию на выходе. Если входное воздействие представляет собой неединичную ступенчатую функцию u(t)=k1(t), то выходная величина будет равна y(t)=kh(t), т.е. представляет собой переходную характеристику с коэффициентом пропорциональности k[2].

Для построения переходной характеристики воспользуемся пакетом

Matlab:

clear,clc

W1=tf([1.25],[0.05 1]);

step(W)

Рисунок 5.1- Переходная характеристика объекта по первому динамическому каналу

6. Расчет коэффициентов передаточной функции по экспериментальной переходной функции методом площадей

Сравнение результатов расчета с истинной (аналитической) передаточной функцией объекта.

В основе метода площадей лежит предположение, что объект может быть описан линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, а его нормированная (приведенная к единице) переходная характеристика может быть аппроксимирована передаточной функцией вида:

                          (6.1)

Порядок числителя в выражении (6.1) всегда меньше или равен порядку знаменателя. Для нахождения явного вида выражения (6.1) для конкретного технологического объекта необходимо определить значения коэффициентов ai и bi, а также значения степеней полиномов n и m.

На первом этапе осуществляют нормирование переходной характеристики и входного воздействия:

;

                              (6.2)

Искомые коэффициенты W0(p) определяются из системы уравнений:

       (6.3)

где i=m+n и для всех i>n ai=0, а для всех i>m bi=0.

Входящие в эту систему уравнений коэффициенты S1, S2, …, Si связаны с кривой разгона интегральными соотношениями и вычисляются в соответствии с (4), где обозначено  - относительное время.Для расчета S1, S2 … Si используют численные методы (метод прямоугольников, метод трапеций и др.):[2]

 (6.4)

Переход от нормированной передаточной функции к обычной осуществляется путем ее умножения на коэффициент передачи

:         (6.5)

Программа расчет коэффициентов передаточной функции по экспериментальной переходной функции методом площадей в Matlab 6.5

clc,clear

T=0:1:30;

W=tf([1.25],[5 1])

y=step(W, T);

[T' y];

plot(T,y,'k');

grid

Таблица экспериментальных данных 6.1

Рис.6-1. График переходной экспериментальной характеристики.

clear, clc

dt=1

h=[0 0.22659 0.4121 0.56399 0.68834 0.79015 0.87351 0.94175 0.99763 1.0434 1.0808 1.1115 1.1366 1.1572 1.174 1.1878 1.199 1.2083 1.2158 1.222 1.2271 1.2313 1.2347 1.2374 1.2397 1.2416 1.2431 1.2444 1.2454 1.2462 1.2469]

h1=h/1.25

n=length(h)

i=1:n

t=(i-1)*dt

s1=dt*(sum(1-h1)-0.5*(1-h1(1)))

y=step(1.25,[s1 1], t);

plot(t,h,'ko',t,y);

grid

[yexp t]=step(1.25,[s1 1],t)

[s1]

s1 = 5.0054

Рис. 6-2. Совмещённый график расчётной и экспериментальной переходной характеристики.

В результате выполнения программы были получены следующие результаты:

Как видно из рисунка 6.2, экспериментальная и рассчитанная переходные характеристики практически не отличаются. Заключение

В данной курсовой работе была получена математическая модель теплообменника в виде дифференциальных уравнений. Также была получена передаточная функция объекта по заданному каналу (регулирование температуры подаваемой жидкости) и ее переходная характеристика.

Для идеального случая (возмущения отсутствуют) и при наличии возмущений по двум другим каналам была получена модель в переменных состояния. А также по заданному каналу дискретная модель. По экспериментальной передаточной функции с помощью метода площадей была получена расчетная передаточная функция. Сравнение показало, что экспериментальная и расчетная передаточные характеристики практически не отличаются.

Список использованной литературы

1  Полоцкий Л. М., Лапшенков Г.И. «Автоматизация химических производств». Теория, расчет и проектирование систем автоматизации - М:Химия, 1982. – 296 с.

2  Кузьмицкий, И.Ф., Кулаков Г.Т. Теория автоматического управления : учеб. пособие для студентов специальности «Автоматизация технологических процессов и производств». – Минск: БГТУ, 2006. – 486

3  Казаков А.В ,Кулаков М.В, Мелюшев Ю.К.Основы автоматики и автоматизации химических производств.Москва 1970.-374